Question

будет ли множество матриц вида ( 3х 0 0 0 2у 0 0 0 z), где x,y,z, приравняется Z образовывать кольцо относительно матричных слоения и умножения, срочно.

Answer 1

Ответ:

чтооооооодллщьошдддшлддддюжж

Answer 2

Да, множество матриц вида

\[ \begin{bmatrix} 3x & 0 & 0 \\ 0 & 2y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} \]

где \(x\), \(y\), и \(z\) принимают значения из множества комплексных чисел, образует кольцо относительно матричного сложения и умножения.

Чтобы проверить это, давайте обозначим матрицу как \(A\) с элементами \(a_{ij}\) и вектор \(X\) как вектор-столбец \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\). Тогда произведение матрицы \(A\) на вектор \(X\) будет иметь вид:

\[ A \cdot X = \begin{bmatrix} 3x \\ 2y \\ z \end{bmatrix} \]

Теперь рассмотрим произведение двух таких матриц \(A\) и \(B\) с соответствующими векторами \(X\) и \(Y\):

\[ A \cdot B = \begin{bmatrix} 3x & 0 & 0 \\ 0 & 2y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3u \\ 2v \\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3x \cdot 3u \\ 2y \cdot 2v \\ z \cdot w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9xu \\ 4yv \\ zw \end{bmatrix} \]

Теперь, если рассмотреть произведение матриц в обратном порядке \(B \cdot A\), мы получим:

\[ B \cdot A = \begin{bmatrix} 3u & 0 & 0 \\ 0 & 2v & 0 \\ 0 & 0 & w \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3x \\ 2y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3u \cdot 3x \\ 2v \cdot 2y \\ w \cdot z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9ux \\ 4vy \\ wz \end{bmatrix} \]

Таким образом, мы видим, что \(A \cdot B\) не обязательно равно \(B \cdot A\), что означает, что данное множество матриц не является коммутативным относительно умножения. Однако, оно образует кольцо относительно умножения и сложения, поскольку оно удовлетворяет замкнутости, ассоциативности и дистрибутивности.