Question

Найдите интеграл используя метод интегрирования по частям:интеграл (х+2)cos x÷4dx​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \int (x+2)\, cos\frac{x}{4}\, dx=\Big[\ u=x+2\ ,\ du=dx\ ,\ dv=cos\frac{x}{4}\, dx\ ,\ v=4sin\frac{x}{4}\ \Big]=\\\\\\=uv-\int v\, du=4(x+2)sin\frac{x}{4}-4\int sin\frac{x}{4}\, dx=4(x+2)sin\frac{x}{4}+16cos\frac{x}{4}+C$

Answer 2

Конечно, давайте найдем интеграл \(\int (x+2)\cos(x)/4 \,dx\) с использованием метода интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям формулируется следующим образом:

\(\int u \,dv = uv - \int v \,du\),

где \(u\) и \(v\) - выбранные функции.

Выберем \(u\) и \(dv\):

\(u = (x+2)/4\) (возьмем производную для \(du\)), \(dv = \cos(x) \,dx\) (возьмем интеграл для \(v\)).

Теперь найдем \(du\) и \(v\):

\(du = 1/4 \,dx\), \(v = \int \cos(x) \,dx = \sin(x)\).

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

\(\int (x+2)\cos(x)/4 \,dx = uv - \int v \,du\),

\(\int (x+2)\cos(x)/4 \,dx = \frac{(x+2)\sin(x)}{4} - \int \frac{\sin(x)}{4} \,dx\).

Теперь найдем оставшийся интеграл:

\(\int \frac{\sin(x)}{4} \,dx = -\frac{\cos(x)}{4}\).

Теперь подставим это обратно в нашу исходную формулу:

\(\int (x+2)\cos(x)/4 \,dx = \frac{(x+2)\sin(x)}{4} + \frac{\cos(x)}{4} + C\),

где \(C\) - постоянная интегрирования.