Question

Решите систему уравнений: (5х2 - y2 + 6x = 11; х2 + y2 = 25.​

Answer 1

$\begin{cases}5x^2-y^2+6x=11\\x^2+y^2=25\end{cases}\Longleftrightarrow\quad\begin{cases}y^2=25-x^2\\5x^2-(25-x^2)+6x=11\end{cases}$

$5x^2-(25-x^2)+6x=11\\5x^2-25+x^2+6x=11\\6x^2+6x-25-11=0\\6x^2+6x-36=0\quad|:6$

$x^2+x-6=0\\\\D=1^2-4(-6)=1+24=25\qquad\qquad\boxed{D = b^2-4ac}$

25 > 0  ⇒  2 корня

$\sqrt{25}=5\\\\\left\begin{array}{lcl}x_1=\dfrac{-1-5}{2}=-3\\\\x_2=\dfrac{-1+5}{2}=2\end{array}\right \qquad\qquad\boxed{x=\dfrac{-b\underline+\sqrt{D}}{2a}}$

$y^2=25-2^2=21\\\\y_1=-\sqrt{21}\\y_2=\sqrt{21}$

$y^2=25-(-3)^2=25-9=16\\\\y_3=-\sqrt{16}=-4\\y_4=\sqrt{16}=4$

Ответ: $(-3;\ -4);\ (-3;\ 4);\ (2;\ -\sqrt{21});\ (2;\ \sqrt{21})$

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания.

Метод подстановки:

Исходная система уравнений: 1) 5x^2 - y^2 + 6x = 11 2) x^2 + y^2 = 25

Разрешаем во втором уравнении относительно x^2: x^2 = 25 - y^2

Подставляем это выражение в первое уравнение: 5(25 - y^2) - y^2 + 6x = 11 125 - 5y^2 - y^2 + 6x = 11 -6y^2 + 6x = -114 6x = 6y^2 - 114

Разрешаем это уравнение относительно x: x = y^2 - 19

Теперь подставляем это выражение во второе уравнение: (y^2 - 19)^2 + y^2 = 25 y^4 - 38y^2 + 361 + y^2 = 25 y^4 - 37y^2 + 336 = 0

После подстановки можно решить это уравнение относительно переменной y при помощи факторизации или метода дискриминантов.

Метод сложения/вычитания:

Исходная система уравнений: 1) 5x^2 - y^2 + 6x = 11 2) x^2 + y^2 = 25

Умножаем первое уравнение на -1: -5x^2 + y^2 - 6x = -11

Складываем первое и второе уравнения: x^2 - 5x^2 + y^2 + y^2 + 6x - 6x = -11 + 25 -4x^2 + 2y^2 = 14

Делим все слагаемые на 2: -2x^2 + y^2 = 7

Теперь у нас есть система уравнений: 1) -2x^2 + y^2 = 7 2) x^2 + y^2 = 25

Вычитаем из второго уравнения первое: x^2 + y^2 - (-2x^2 + y^2) = 25 - 7 x^2 + y^2 + 2x^2 - y^2 = 18 3x^2 = 18

Разрешаем это уравнение относительно x: x^2 = 6 x = ±√6

Подставляем найденное значение x во второе уравнение: (±√6)^2 + y^2 = 25 6 + y^2 = 25 y^2 = 25 - 6 y^2 = 19 y = ±√19

Таким образом, получаем четыре решения для системы уравнений: 1) x = √6, y = √19 2) x = √6, y = -√19 3) x = -√6, y = √19 4) x = -√6, y = -√19