Question

Алгебра 8 класс Про натуральное число n известно, что представление дроби 1/n в виде бесконечной десятичной выглядит так:0, (aa1a2a3) (т.е. период дроби равен 3), где a1, a2, а3 - различные цифры. Найдите все такие натуральные числа. В ответе укажите их сумму.​

Answer 1

Ответ:

64

Объяснение:

_-_--__-_--_s

Answer 2

Давайте рассмотрим представление дроби \( \frac{1}{n} \) в виде бесконечной десятичной дроби:

\[ 0.(aa1a2a3) \]

Так как период дроби равен 3, мы можем выразить \( \frac{1}{n} \) следующим образом:

\[ \frac{1}{n} = 0.(aa1a2a3) \]

Умножим обе стороны на \( 10^6 \), чтобы избавиться от десятичной точки:

\[ 10^6 \cdot \frac{1}{n} = (aa1a2a3).(aa1a2a3)... \]

Теперь выразим \( n \) через его простые множители:

\[ n = 2^a \cdot 5^b \cdot m \]

где \( m \) - число, не содержащее простых множителей 2 и 5.

Теперь давайте рассмотрим числа \( 10^6 \) и \( n \). Если \( n \) делится на 2 и/или 5, то его простые множители уже входят в \( 10^6 \), и в результате дробь \( \frac{1}{n} \) не будет периодичной.

Таким образом, \( n \) не должно делиться на 2 и 5.

Теперь вернемся к уравнению:

\[ 10^6 \cdot \frac{1}{n} = (aa1a2a3).(aa1a2a3)... \]

Так как период дроби равен 3, то:

\[ m \cdot (10^6 \cdot \frac{1}{n}) = m \cdot (aa1a2a3).(aa1a2a3)... \]

Так как \( n \) не делится на 2 и 5, а также из условия, что период равен 3, мы можем сказать, что \( m \) делится на 3.

Таким образом, \( n \) представляется в виде:

\[ n = 2^a \cdot 5^b \cdot 3 \cdot k \]

где \( k \) - некоторое натуральное число.

Теперь давайте найдем все возможные значения \( a \), \( b \) и \( k \).

Число \( 10^6 \) делится на \( 2^6 \) и \( 5^6 \). Также у нас есть дополнительный делитель 3. Поэтому:

\[ n = 2^a \cdot 5^b \cdot 3 \cdot k \]

\[ n = 2^6 \cdot 5^6 \cdot 3 \cdot k \]

\[ n = 2^6 \cdot 5^6 \cdot 3 \cdot 1 \]

\[ n = 2^6 \cdot 5^6 \cdot 3 \]

Теперь можем найти значение \( n \):

\[ n = 2^6 \cdot 5^6 \cdot 3 = 4665600 \]

Таким образом, единственное значение для \( n \) - это 4665600.

Теперь найдем сумму всех таких натуральных чисел:

\[ \text{Сумма} = 4665600 \]

Таким образом, ответ: сумма всех натуральных чисел \( n \) равна 4665600.