Question

100 баллов! Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. Выполните рисунок. a) y=9 – x², y=0 b) y=-x²+1, y=3

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

a)

$y=9-x^2\ \ \ \ y=0\ \ \ \ S=?\\9-x^2=0\\x^2=9\\x_{1,2}=б3.\\S=\int\limits^3_{-3} {(9-x^2-0)} \, dx =\int\limits^3_{-3} {9} \, dx -\int\limits^3_{-3} {x^2} \, dx =9x\ |_{-3}^3-\frac{x^3}{3}\ |_{-3}^3=\\=9*3-9*(-3)-(\frac{3^3}{3}-\frac{(-3)^3}{3})=27+27-(9+9)=54-18=36.$

Ответ: S=36 кв. ед.

b)

$></p> <p><strong>Ответ: линии не пересекаются.</strong></p> </div> <div style=$

Answer 2

Конечно, давайте решим задачу.

Первая фигура: \[ a) \ y = 9 - x^2, \ y = 0 \]

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, необходимо найти точки их пересечения. Решим уравнение \( 9 - x^2 = 0 \) для определения точек пересечения:

\[ 9 - x^2 = 0 \]

\[ x^2 = 9 \]

\[ x = \pm 3 \]

Таким образом, точки пересечения с осью x: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).

Теперь, вычислим значения y для каждой из функций в этих точках:

1. Для \( y = 9 - x^2 \): - При \( x = -3 \): \( y = 9 - (-3)^2 = 0 \) - При \( x = 3 \): \( y = 9 - 3^2 = 0 \)

2. Для \( y = 0 \): - При любом значении x: \( y = 0 \)

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-3, 0) и (3, 0).

Теперь построим график:

\[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -3 & 0 \\ 0 & 9 \\ 3 & 0 \\ \end{array} \]

Теперь мы видим, что фигура - это парабола, открытая вниз, ограниченная осью x и кривой \( y = 9 - x^2 \).

Для вычисления площади под кривой, можно воспользоваться определенным интегралом:

\[ S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) \,dx \]

Вычислим данный интеграл:

\[ S = \left[9x - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{3} \]

\[ S = \left[9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} - (9 \cdot (-3) - \frac{(-3)^3}{3})\right] \]

\[ S = (27 - 9) - (-27 + 9) = 54 \]

Таким образом, площадь фигуры равна 54.

Теперь рассмотрим вторую фигуру: \[ b) \ y = -x^2 + 1, \ y = 3 \]

Аналогично, найдем точки пересечения:

\[ -x^2 + 1 = 3 \]

\[ -x^2 = 2 \]

\[ x^2 = -2 \]

Уравнение \(x^2 = -2\) не имеет решений в действительных числах, поэтому эти две кривые не пересекаются в действительной области.

Таким образом, вторая фигура не имеет площади в действительной области. Графически, это означает, что кривые \(y = -x^2 + 1\) и \(y = 3\) не пересекаются.

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то не ясно, не стесняйтесь спрашивать!