Question

Arcsin( - корень из 3/2 ) - 3arccos (-1/2) + 4arcctg(-1) + arcctg ( корень из 3/3). Вычислить​

Answer 1

$arc \sin( - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = - \frac{\pi}{3} \\ \\ arc \cos( - \frac{1}{2} ) = \frac{2\pi}{3} \\ \\ arcctg( - 1) = \frac{3\pi}{4} \\ \\ arcctg( \frac{ \sqrt{3} }{3} ) = \frac{\pi}{3}$

Тогда получается:

$- \frac{\pi}{3} - 3 \times \frac{2\pi}{3} + 4 \times \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \\ \\ - 2\pi + 3\pi = \pi.$

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение шаг за шагом:

1. \( \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \)

Сначала определим угол, значение синуса которого равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Это соответствует углу \( \frac{\pi}{3} \) (60 градусов), так как \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Таким образом,

\[ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \]

2. \( 3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \)

Найдем угол, значение косинуса которого равно \(-\frac{1}{2}\). Это соответствует углу \( \frac{2\pi}{3} \) (120 градусов), так как \( \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \). Теперь умножим это значение на 3:

\[ 3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi \]

3. \( 4\arccot(-1) \)

Найдем угол, значение котангенса которого равно \(-1\). Это соответствует углу \( \frac{3\pi}{4} \) (135 градусов), так как \( \cot\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1 \). Теперь умножим это значение на 4:

\[ 4\arccot(-1) = 4 \cdot \frac{3\pi}{4} = 3\pi \]

4. \( \arccot\left(\sqrt{\frac{3}{3}}\right) \)

Найдем угол, значение котангенса которого равно \(\sqrt{\frac{3}{3}}\). Это соответствует углу \( \frac{\pi}{6} \) (30 градусов), так как \( \cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{\frac{3}{3}} \).

Теперь сложим все полученные значения:

\[ \frac{\pi}{3} + 2\pi + 3\pi + \frac{\pi}{6} \]

Общий знаменатель у нас будет 6:

\[ \frac{2\pi + 12\pi + 18\pi + \pi}{6} \]

\[ \frac{33\pi}{6} \]

\[ \frac{11\pi}{2} \]

Таким образом, значение выражения \( \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 3\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 4\arccot(-1) + \arccot\left(\sqrt{\frac{3}{3}}\right) \) равно \( \frac{11\pi}{2} \).