Question

Даны вектор P(-5;5), d(3;4), q(3;a) Найдите :1. косинус между векторами P и d2. число а, если векторы P и q - перпендикулярны​

Answer 1

$1)cos = \frac{ - 5 \times 3 + 5 \times 4}{ \sqrt{ { -5}^{2} + {5}^{2} } \times \sqrt{ {3 }^{2} + {4}^{2} } } = \frac{ - 15 + 20}{ \sqrt{50} \times \sqrt{25} } = \frac{5}{25 \sqrt{2} } = \frac{1}{5 \sqrt{2} }$

2)-5×3+5a=0

-15+5a=0

5a=15

a=15:5

a=3

Answer 2

Давайте рассмотрим заданные векторы P, d и q:

1. Вектор P: P(-5, 5) 2. Вектор d: d(3, 4) 3. Вектор q: q(3, a)

1. Косинус между векторами P и d:

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами, используем следующую формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{P} \cdot \mathbf{d}}{\|\mathbf{P}\| \|\mathbf{d}\|} \]

где \( \cdot \) - это скалярное произведение векторов, а \(\|\mathbf{P}\|\) и \(\|\mathbf{d}\|\) - длины векторов P и d соответственно.

Длина вектора P: \[ \|\mathbf{P}\| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Длина вектора d: \[ \|\mathbf{d}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Скалярное произведение векторов P и d: \[ \mathbf{P} \cdot \mathbf{d} = (-5)(3) + (5)(4) = -15 + 20 = 5 \]

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{5}{(5\sqrt{2})(5)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

2. Число a, если векторы P и q перпендикулярны:

Если векторы P и q перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Таким образом,

\[ \mathbf{P} \cdot \mathbf{q} = (-5)(3) + (5)(a) = 0 \]

Решим уравнение относительно a:

\[ -15 + 5a = 0 \]

\[ 5a = 15 \]

\[ a = 3 \]

Таким образом, число a равно 3, чтобы векторы P и q были перпендикулярными.