Question

1. Представьте число (−80) в виде суммы двух отрицательных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Answer 1

Ответ:

-40+(-40)=-80

Объяснение:

Условие: оба числа отрицательные

х - первое число

у - второе число

х+у=-80 ⇒ y=-80-x

x²+y²=x²+(-80-x)²=

x²+(-80)²-(2*(-80)x+x² = 2x²+160x+(-80)²

Запишем, как функцию, чтобы найти точки экстремума.

f(x)=2x²+160x+(-80)²

Найдем первую производную:

f`(x)=4х+160=4(х+40)

Чтобы найти точку минимума, приравняем производную к 0:

4(х+40)=0

х+40=0

х=-40  - точка минимума

у=-80-(-40)

у=-40

-40+(-40)=-80 условие соблюдено,

(-40)²+(-40)² является наименьшей суммой квадратов двух отрицательных слагаемых числа -80

Answer 2

Чтобы представить число \(-80\) в виде суммы двух отрицательных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей, мы можем воспользоваться методом дополнения до полного квадрата. Пусть одно из чисел будет \(x\), а второе \(-80 - x\).

Теперь нам нужно минимизировать сумму квадратов этих чисел:

\[f(x) = x^2 + (-80 - x)^2\]

Раскроем скобки:

\[f(x) = x^2 + (80 + x)^2\]

Распределение:

\[f(x) = x^2 + (x^2 + 160x + 6400)\]

Сложим члены:

\[f(x) = 2x^2 + 160x + 6400\]

Теперь у нас есть квадратичная функция. Чтобы найти минимум, мы можем воспользоваться формулой для координаты вершины параболы \(-\frac{b}{2a}\), где \(a\) - коэффициент при \(x^2\), \(b\) - коэффициент при \(x\).

В нашем случае \(a = 2\), \(b = 160\). Подставим значения:

\[x_{\text{min}} = -\frac{160}{2 \cdot 2} = -20\]

Теперь, зная \(x_{\text{min}}\), найдем второе число:

\[-80 - x_{\text{min}} = -80 + 20 = -60\]

Таким образом, наименьшая сумма квадратов будет достигаться, если представить число \(-80\) в виде суммы \(-20\) и \(-60\), так как квадратичная функция достигает минимума в этой точке.