Question

Как изменится определитель, если к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку

Answer 1

универсальный способ: напишите это преобразование в виде умножения исходной матрицы (назовем A) на матрицу, выполняющую такую операцию (назовем R), найдите ее определитель R.

чтобы так переставить строки надо умножить матрицу слева на

+1 -1 +0

+0 +1 -1

-1 +0 +1

(плюсики только для отображения в Ответах ровными столбцами)

Определитель ноль, так что и определитель |R*A|=|R|*|A|=0*|A|=0

А можно и просто подумать. Если столбец был a, b, c, то после преобразования получим a-b, b-c, c-a. Нетрудно заметить, что их сумма - ноль, то есть - строки линейно зависимы.

Answer 2

Определитель матрицы изменится, если к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю строку. Давайте рассмотрим матрицу размером \(n \times n\) и обозначим её элементы как \(a_{ij}\). Пусть определитель исходной матрицы равен \(D\), то есть:

\[D = \det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\]

Теперь рассмотрим новую матрицу \(B\), полученную прибавлением последней строки ко всем предыдущим строкам:

\[B = \begin{vmatrix} a_{11} + a_{n1} & a_{12} + a_{n2} & \ldots & a_{1n} + a_{nn} \\ a_{21} + a_{n1} & a_{22} + a_{n2} & \ldots & a_{2n} + a_{nn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} + a_{n1} & a_{n-1,2} + a_{n2} & \ldots & a_{n-1,n} + a_{nn} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\]

Покажем, как изменится определитель. Посмотрим на элементы новой матрицы:

\[\begin{align*} b_{11} &= a_{11} + a_{n1} \\ b_{12} &= a_{12} + a_{n2} \\ &\vdots \\ b_{1n} &= a_{1n} + a_{nn} \\ b_{21} &= a_{21} + a_{n1} \\ b_{22} &= a_{22} + a_{n2} \\ &\vdots \\ b_{n-1,n} &= a_{n-1,n} + a_{nn} \\ b_{n1} &= a_{n1} \\ b_{n2} &= a_{n2} \\ &\vdots \\ b_{nn} &= a_{nn} \end{align*}\]

Теперь выразим определитель новой матрицы через элементы исходной:

\[\begin{align*} \det(B) &= \begin{vmatrix} b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n-1,1} & b_{n-1,2} & \ldots & b_{n-1,n} \\ b_{n1} & b_{n2} & \ldots & b_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} + a_{n1} & a_{12} + a_{n2} & \ldots & a_{1n} + a_{nn} \\ a_{21} + a_{n1} & a_{22} + a_{n2} & \ldots & a_{2n} + a_{nn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} + a_{n1} & a_{n-1,2} + a_{n2} & \ldots & a_{n-1,n} + a_{nn} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \ldots & a_{n-1,n} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \\ &= \det(A) + \begin{vmatrix} a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{align*}\]

Таким образом, определитель новой матрицы равен сумме определителя исходной матрицы и определителя матрицы, у которой все строки, кроме последней, равны между собой. Этот второй определитель равен нулю, так как у матрицы есть линейно зависимые строки (все строки, кроме последней, одинаковы). Таким образом, \(\det(B) = \det(A)\), и прибавление последней строки к остальным не изменяет определитель.