Question

1) Докажите (по определению), что функция y=корень x является возрастающей на ее области определения. 2)Исследуйте функцию y=x|x| на четность.

Answer 1

Дана функция y = (x^2 + 1)/(x^2 - 1).

1. Область определения функции - вся числовая ось: D(f) = R, x ≠ +-1.

Так как знаменатель дроби может обратиться в нуль при значениях x = 1 и х = -1, то из области определения функции эти 2 значения выпадают.

2. Функция f (x) = (x2 +1) /(x2-1) непрерывна на всей области определения кроме точек, в которых функция точно не определена (разрыв функции): x = 1 и х = -1.

Область значений функции приведена в пункте 8.

3. Точка пересечения графика функции с осью координат Оу:

График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в (x²+1) /(x²-1).

у = (0²+1)/(0²-1) = -1.

Результат: y = 0. Точка: (0; -1).

4. Точки пересечения графика функции с осью координат Ох:

График функции пересекает ось Ох при y=0, значит, нам надо решить уравнение:

(x²+1) /(x²-1) = 0.

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с Ох:

Для дроби достаточно приравнять нулю числитель:

x² +1 = 0,

x² = -1.

Результат: нет решения. График не пересекает ось Ох.

5. Экстремумы функции:

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:

y^'=(2x(x^2-1)-2x*(x^2+1))/(x^2-1)^2 =(2x^3-2x-2x^3-2x)/(x^2-1)^2 =-4x/((x^2 -1)^2 )

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами (достаточно нулю приравнять числитель): -4x = 0.

Результат: х=0. Точка: (0; -1).

6. Интервалы возрастания и убывания функции:

С учётом двух точек разрыва функции и точки экстремума х = 0, имеем 4 интервала монотонности функции: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1) (1; +∞).

На промежутках находим знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

y' = 0,889 - 3,556 0 -3,556 - -0,889

Минимума функции нет.

Максимум функции в точке х = 0, у = -1.

Возрастает на промежутках: (-∞; -1) U (-1; 0).

Убывает на промежутках: (0; 1) U (1; +∞).

7. Точки перегибов графика функции:

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции:

y''=(4(3x² + 1))/(х² - 1)³ = 0.

Приравняем нулю числитель: 4(3x² + 1) = 0.

3x² + 1= 0.

3x² = - 1.

Это уравнение не имеет решения, поэтому у графика нет перегибов.

8. Асимптоты.

Асимтоты бывают трех видов: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

а) Вертикальные асимптоты – есть в точках разрыва. Это линии х = -1 и х = 1.

б) Горизонтальная асимптота у графика функции определяется при нахождении предела функции на бесконечности:

lim┬(x→±∞)⁡〖(x^2+1 )/(x^2-1)=(x^2/x^2 +1/x^2 )/(x^2/x^2 -1/x^2 )=1/(1-0)=1.〗

Таким образом, горизонтальная асимптота : у = 1.

С учётом максимума функции в точке (0; -1) и предела значения функции у = 1 определяем область значений функции:

у Є (-∞; -1] U (1; ∞).

в) наклонных асимптот нет. Функция f(x) имеет наклонную асимптоту y = k x + b тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы k и в в уравнении у = kх + в.

〖 k=lim⁡〗┬( x→±∞)⁡〖(f(x))/x.〗

〖b=lim⁡ 〗┬( x→±∞)⁡〖[f(x)-kx].〗

Для данной функции первый из этих пределов равен нулю, поэтому наклонная линия не определяется (она совпадает с горизонтальной асимптотой).

9. Четность и нечетность функции:

Проверим функцию - четна или нечетна с помощью соотношений f(-x) = f(x) и -f(x) = -f(x). Итак, проверяем:

f(-x)=((-x)^2+1)/((-x)^2-1)=(x^2+1)/(x^2-1)=f(x).

3начит, функция является чётной.

10. Таблица точек.

x y

-4.0 1.133

-3.5 1.178

-3.0 1.25

-2.5 1.381

-2.0 1.667

-1.5 2.6

-1.0 -

-0.5 -1.667

0 -1

0.5 -1.667

1.0 -

1.5 2.6

2.0 1.667

2.5 1.381

3.0 1.25

3.5 1.178

4.0 1.133

Answer 2

1) Чтобы доказать, что функция y = √x возрастает на ее области определения, мы должны показать, что если x1 < x2, то y(x1) < y(x2).

Для начала, нам нужно найти область определения функции y = √x. Так как квадратный корень из отрицательного числа не определен в области вещественных чисел, то функция y = √x определена только для x ≥ 0.

Теперь предположим, что у нас есть две точки x1 и x2, где x1 < x2. Мы должны доказать, что y(x1) < y(x2).

Заменим x1 и x2 в функции y = √x и получим: y(x1) = √x1 y(x2) = √x2

Поскольку x1 < x2, мы можем сделать вывод, что √x1 < √x2. Это следует из свойств квадратного корня: если одно число меньше другого, то его квадратный корень также меньше.

Таким образом, мы доказали, что если x1 < x2, то y(x1) < y(x2), что означает, что функция y = √x возрастает на ее области определения.

2) Для исследования функции y = x|x| на четность, мы должны проверить, является ли она симметричной относительно оси ординат (четной) или симметричной относительно начала координат (нечетной).

Проверим сначала симметрию относительно оси ординат. Для этого нужно проверить, равенство y(-x) = y(x). Заменим x на -x в функции y = x|x|: y(-x) = -x|x|

Так как -x|x| равно -(x|x|), получаем: y(-x) = -(x|x|)

Поскольку -(x|x|) не равно x|x| для большинства значений x, то функция y = x|x| не является симметричной относительно оси ординат, а значит, не является четной.

Теперь проверим симметрию относительно начала координат. Для этого нужно проверить, равенство y(-x) = -y(x). Заменим x на -x в функции y = x|x|: y(-x) = -x|-x|

Заменим внутренний модуль на его значение: y(-x) = -x(-x) = x^2

Так как x^2 не равно -x|x| для большинства значений x, то функция y = x|x| не является симметричной относительно начала координат, а значит, не является нечетной.

Таким образом, функция y = x|x| не является ни четной, ни нечетной.