Question

Помогите сделать проверку у первого и третьего примера и помогите решить 2 пример. √(x+6) - √(x+1) = √(2x-5) ответ х1=3 х2=-10 Корень 4 степени из x в квадрате+12=х Кубический корень из (x^3-19) = x-1 ответ х1=3 х2=-2

Answer 1

Ответ:

В первом отпадает корень -10 т.к. под корнем должны быть только полож. числа. в третьем не подходит 3 (-2=2). а вот второй

Объяснение:

Корень 4 степени из х^2 это все равно, что корень из х. получаем

sqrt(x)+12=x

пусть sqrt(x)=t. Тогда

t+12=t^2

-t^2 + t + 12 = 0

t^2 - t - 12 = 0

D = 1+48=49

t1 = (-1+7)/2 = 6

t2 = (-1-7)/2 = -4

Обратная замена:

1) t = 6, тогда sqrt(x)=6 (x=36)

2) t = -4, sqrt(x)=-4 (x=16)

При этом один из этих корней точно лишний, т.к изначально уравнение было 1 степени и имело лишь 1 корень. При подстановке вручную убеждаемся, что подходит х=16

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1. √(x + 6) - √(x + 1) = √(2x - 5)

Первым шагом уберем корни:

\[ \sqrt{x + 6} - \sqrt{x + 1} = \sqrt{2x - 5} \]

Теперь избавимся от корней, перенося члены уравнения:

\[ \sqrt{x + 6} = \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x - 5} \]

Возводим в квадрат обе стороны:

\[ x + 6 = (x + 1) + 2\sqrt{(x + 1)(2x - 5)} + (2x - 5) \]

Упростим:

\[ x + 6 = x + 1 + 2\sqrt{(x + 1)(2x - 5)} + 2x - 5 \]

Отбросим одинаковые члены:

\[ 5 = 2\sqrt{(x + 1)(2x - 5)} \]

Теперь делим обе стороны на 2:

\[ \frac{5}{2} = \sqrt{(x + 1)(2x - 5)} \]

Возводим в квадрат:

\[ \frac{25}{4} = (x + 1)(2x - 5) \]

Раскрываем скобки:

\[ \frac{25}{4} = 2x^2 - 3x - 5 \]

Переносим все члены влево:

\[ 2x^2 - 3x - \frac{25}{4} + 5 = 0 \]

Умножаем все члены на 4 для избавления от дробей:

\[ 8x^2 - 12x - 25 + 20 = 0 \]

\[ 8x^2 - 12x - 5 = 0 \]

Теперь можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, a = 8, b = -12, c = -5.

\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5)}}{2 \cdot 8} \]

\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 160}}{16} \]

\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{304}}{16} \]

\[ x = \frac{12 \pm 4\sqrt{19}}{16} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{19}}{4} \]

Таким образом, уравнение имеет два корня: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{19}}{4} \) и \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{19}}{4} \).

2. Корень 4 степени из \( x^2 + 12 = x \)

Первым шагом уберем корень:

\[ \sqrt[4]{x^2 + 12} = x \]

Теперь возводим в 4 степень обе стороны:

\[ x^2 + 12 = x^4 \]

Переносим все члены влево:

\[ x^4 - x^2 - 12 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Пусть \( y = x^2 \), тогда уравнение станет:

\[ y^2 - y - 12 = 0 \]

Решаем это квадратное уравнение:

\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 12}}{2} \]

\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} \]

\[ y = \frac{1 \pm 7}{2} \]

Таким образом, у нас два возможных значения \( y \): \( y_1 = 4 \) и \( y_2 = -3 \).

Теперь возвращаемся к переменной \( x \):

1. Для \( y_1 = 4 \): \( x^2 = 4 \), следовательно, \( x = \pm 2 \). 2. Для \( y_2 = -3 \): корень из отрицательного числа в действительных числах не существует, так что это решение отбрасываем.

Таким образом, у уравнения \( \sqrt[4]{x^2 + 12} = x \) есть два корня: \( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -2 \).

3. Кубический корень из \( x^3 - 19 = x - 1 \)

Первым шагом уберем корень:

\[ \sqrt[3]{x^3 - 19} = x - 1 \]

Теперь возводим в куб обе стороны:

\[ x^3 - 19 = (x - 1)^3 \]

Раскрываем куб:

\[ x^3 - 19 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \]

Теперь вычитаем \( x^3 \) из обеих сторон:

\[ -19 = -3x^2 + 3x - 1 \]

Упрощаем:

\[ -18 = -3x^2 + 3x \]

Переносим все члены влево:

\[ 3x^2 - 3x - 18 = 0 \]

Теперь делим на 3:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \]

Теперь можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В данном случае, a = 1, b = -1, c = -6.

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{