Question

a0,a1,a2,…,a97 – действительные числа. Какое наибольшее количество различных действительных корней может иметь многочлен x100+a97x97+a96x96+…+a1x+a0

Answer 1

Ответ:

17

Объяснение:

Если приглядеться, то можно заметить, что все остальные решения будут комплексными

Answer 2

Ответ:

100

Объяснение:

потому что степень уравнения равна 100, т.е. максимальная степень х. Это можно понять по аналогии с квадратным уравнением.

Answer 3

Для определения количества различных действительных корней многочлена степени \(n\), где коэффициенты \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) - действительные числа, мы можем воспользоваться теоремой Безу и правилом знаков Декарта.

Теорема Безу утверждает, что количество действительных корней многочлена не превосходит количества изменений знака в последовательности коэффициентов многочлена.

Правило знаков Декарта гласит, что количество положительных корней многочлена равно количеству изменений знака в последовательности коэффициентов многочлена (если вычитаем нули).

В данном случае у нас есть многочлен \(P(x) = x^{100} + a_{97}x^{97} + a_{96}x^{96} + \ldots + a_1x + a_0\). Известно, что коэффициенты \(a_0, a_1, \ldots, a_{97}\) - действительные числа.

Посмотрим на количество изменений знака в последовательности коэффициентов. Если у нас есть \(k\) изменений знака, то по теореме Безу многочлен может иметь не более \(k\) действительных корней.

Теперь давайте рассмотрим правило знаков Декарта. Если вычесть из последовательности нули, то получим \(1, a_{97}, a_{96}, \ldots, a_1, a_0\). Количество изменений знака в этой последовательности равно количеству перемен знака между соседними коэффициентами.

Таким образом, максимальное количество действительных корней этого многочлена будет равно количеству изменений знака в последовательности \(1, a_{97}, a_{96}, \ldots, a_1, a_0\).

Например, если все коэффициенты \(a_{97}, a_{96}, \ldots, a_1, a_0\) разные, то у нас будет 97 изменений знака, так как каждый коэффициент изменяет знак. Это значит, что многочлен может иметь не более 97 действительных корней.

Если некоторые из коэффициентов равны между собой, то количество изменений знака будет меньше. Тем не менее, максимальное количество действительных корней все равно будет не превышать количество изменений знака в последовательности коэффициентов.