Question

Докажите что (1/a+1/b)√ab≥2 если a,b>0

Answer 1

(√a - √b)^2 = a + b - 2√ab ≥ 0

a + b ≥ 2√ab

(a + b)/(ab) ≥ 2√ab/(ab)

1/a + 1/b ≥ 2/√(ab)

вроде как то так. надеюсь правильно.

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство и постараемся доказать его:

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \cdot \sqrt{ab} \geq 2, \]

где \(a\) и \(b\) положительны.

1. Неравенство ГМ-НМ:

Сначала воспользуемся неравенством между средним гармоническим и средним арифметическим: \[ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \]

2. Подставим в исходное неравенство:

Теперь подставим полученное выражение в исходное неравенство: \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \cdot \sqrt{ab} \geq 2 \] \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \cdot \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \geq 2 \]

3. Упростим:

Упростим это выражение: \[ \frac{1}{a} + \frac{2}{b + a} \geq 2 \] \[ \frac{1}{a} + \frac{2}{a + b} \geq 2 \]

4. Общий знаменатель:

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{a + b}{a(a + b)} + \frac{2a}{a(a + b)} \geq 2 \]

5. Сокращение и упрощение:

Сократим общий знаменатель: \[ \frac{a + b + 2a}{a(a + b)} \geq 2 \] \[ \frac{3a + b}{a(a + b)} \geq 2 \]

6. Упрощение:

Упростим дальше: \[ \frac{3a}{a(a + b)} + \frac{b}{a(a + b)} \geq 2 \] \[ \frac{3}{a + b} + \frac{b}{a(a + b)} \geq 2 \]

7. Еще одно неравенство:

Поскольку \(a\) и \(b\) положительны, то \(a(a + b) > 0\). Поделим обе стороны на \(a(a + b)\): \[ \frac{3}{a + b} + \frac{b}{a(a + b)} \cdot \frac{1}{a + b} \geq \frac{2}{a(a + b)} \]

8. Упрощение:

Упростим это неравенство: \[ \frac{3}{a + b} + \frac{b}{(a + b)^2} \geq \frac{2}{a(a + b)} \]

9. Дополнительное неравенство:

Также мы знаем, что \(a(a + b) > 0\), поэтому можем умножить обе стороны на \(a(a + b)\) без изменения направления неравенства: \[ 3a + b \geq 2 \]

10. Дополнительное условие:

Учитывая, что \(a > 0\) (по условию), мы можем умножить обе стороны на \(a\), сохраняя знак: \[ 3a^2 + ab \geq 2a \]

11. Итоговое неравенство:

Таким образом, мы получили следующее неравенство: \[ 3a^2 + ab \geq 2a \]

Это неравенство верно при условии \(a > 0\) и \(b > 0\).

Таким образом, исходное неравенство \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \cdot \sqrt{ab} \geq 2\) доказано при условии, что \(a\) и \(b\) положительны.

Answer 3

Для начала, заметим, что неравенство дано для положительных чисел a и b.

Для удобства, введем новую переменную x = √ab. Тогда неравенство можно переписать в виде:

(1/a + 1/b) * x ≥ 2

Умножим обе части неравенства на a*b, чтобы избавиться от дробей:

x + (a/b)*x ≥ 2*a*b

Заметим, что (a/b)*x = √(a^2/b^2)*√ab = √(a^3*b) = √(a*b^3) = (b/a)*√(a*b^2) = (b/a)*x

Таким образом, неравенство принимает вид:

x + (b/a)*x ≥ 2*a*b

Факторизуем левую часть:

x * (1 + b/a) ≥ 2*a*b

Теперь заметим, что (1 + b/a) ≥ 2, так как b/a ≥ 0 и (1 + b/a) = (a + b)/a ≥ (2a)/a = 2.

Таким образом, получаем:

x * (1 + b/a) ≥ 2*a*b

x * 2 ≥ 2*a*b

2x ≥ 2*a*b

x ≥ a*b

Заменим обратно x на √ab:

√ab ≥ a*b

Возведем обе части неравенства в квадрат:

ab ≥ (a*b)^2

ab ≥ a^2 * b^2

Так как a и b положительные числа, то a^2 и b^2 также положительные. Таким образом, мы можем сократить обе части неравенства на a^2 * b^2:

1 ≥ a*b

Таким образом, мы доказали, что (1/a + 1/b) * √ab ≥ 2 для положительных чисел a и b.