Question

Найдите все значения параметра а для которых неравенство (a-3)x^2-(a+1)x+a+1≥0

Answer 1

Ответ:

a ∈ (-∞; -1] ∪ [$\frac{13}{3}$; +∞)

Объяснение:

Если квадратное неравенство ≥0, то D≤0

(a-3)x^2-(a+1)x+a+1≥0

D=(a+1)²-4(a-3)(a+1)=a²+2a+1-4(a²-2a-3)=a²+2a+1-4a²+8a+12=-3a²+10a+13≤0

-3a²+10a+13≤0

3a²-10a-13≥0

a1=-1, a2=$\frac{13}{3}$

Метод интервалов: a ∈ (-∞; -1] ∪ [$\frac{13}{3}$; +∞)

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно использовать метод интервалов.

1. Рассмотрим сначала случай, когда a ≠ 3.

Для начала перепишем неравенство в стандартной форме:

(a-3)x^2 - (a+1)x + a + 1 ≥ 0

Мы знаем, что если a ≠ 3, то выражение (a-3) ≠ 0. Поделим обе части неравенства на (a-3):

x^2 + (-a-1)/(a-3) * x + (a+1)/(a-3) ≥ 0

2. Теперь рассмотрим случай, когда a = 3.

Подставим a = 3 в исходное неравенство:

(3-3)x^2 - (3+1)x + 3 + 1 ≥ 0

x^2 - 4x + 4 ≥ 0

Так как это квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным 1, то оно может быть записано в виде (x-2)^2 ≥ 0. В данном случае, неравенство будет выполняться для любого значения x.

3. Составим таблицу знаков в зависимости от значения коэффициента a:

a < 3: x^2 + (-a-1)/(a-3) * x + (a+1)/(a-3) > 0 a = 3: x принадлежит любому значения x a > 3: x^2 + (-a-1)/(a-3) * x + (a+1)/(a-3) > 0

Для каждого значения a мы можем определить знак неравенства в каждом интервале и решить его. В результате, мы найдем все значения параметра a, для которых неравенство выполняется.

Ответ: a ≠ 3