Question

Написати канонічне рівняння прямої х+у+z-2=0; x-y-2z+2=0

Answer 1

Написати канонічне рівняння прямої х+у+z-2=0; x-y-2z+2=0.

Направляющий вектор “p” нашей прямой ортогонален нормальным векторам n1 и n2 плоскостей. А если  , то вектор «p» найдём как векторное произведение векторов нормали:  .

Из уравнений плоскостей {x+y+z-2=0

                                              {x-y-2z+2=0

снимаем их векторы нормали:  n1(1; 1; 1), n2(1; -1; -2).

И находим направляющий вектор p прямой d, перпендикулярный двум заданным с помощью векторного произведения.

I       j     k|      I      j

1     1      1|      1      1

1    -1    -2|      1     -1  = -2i + 1j - 1k + 2j + 1i – 1k = -1i + 3j -2k.

Вектор p = (-1; 3; -2).

Можно применить готовую формулу для определения направляющего вектора линии пересечения двух плоскостей.

p ⃗(|■(B_1&[email protected]_2&C_2 )||■(C_1&[email protected]_2&A_2 )||■(A_1&[email protected]_2&B_2 )|)

p = (1*(-2) – 1*(-1); 1*1-1*(-2); 1*(-1)-1*1) = (-1; 3; -2).

Далее надо найти точку на прямой.

Так как линия пересекает плоскость хОу, то в этой точке координата z = 0.

Поэтому в системе уравнений нужно обнулить координату z.  

Пусть z = 0, тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:  {x+y-2=0

                            {x-y+2=0.

Почленно складываем уравнения и находим решение системы:

2x  = 0,

x = 0,

y = 2 – х = 2 – 0 = 2.

Таким образом, точка M(0; 2; 0) принадлежит данной прямой.  

Выполним проверку: подставим координаты точки M(0; 2; 0) в исходную систему уравнений:

{x+y+z-2=0          0+2+0-2=0  0=0

{x-y-2z+2=0     0-2-2*0+2=0    0=0.

Получены верные равенства, значит, действительно, M ∈ d.

Тогда по точке М и направляющему вектору составляем уравнение прямой:

x/(-1) = (y – 2)/2 = z/(-2).

Answer 2

Для написання канонічного рівняння прямої потрібно відомо дві рівносильні точки на прямій або вектор, що її задає. У даному випадку ми маємо два рівняння площин, які перетинаються і утворюють пряму. Щоб знайти канонічне рівняння прямої, спочатку необхідно знайти її напрямний вектор.

Знаходження напрямного вектора

Ми можемо знайти напрямний вектор, обчисливши векторний добуток нормалей площин. Нормалі площин можна отримати, записавши коефіцієнти при x, y і z у рівняннях площин. Для першого рівняння отримуємо нормальний вектор (1, 1, 1), а для другого рівняння - нормальний вектор (1, -1, -2).

Тепер знайдемо напрямний вектор, використовуючи векторний добуток нормалей: ``` напрямний вектор = (1, 1, 1) × (1, -1, -2) ```

Виконуючи векторний добуток, отримаємо: ``` напрямний вектор = ((1 * -2) - (1 * -1), (1 * 1) - (1 * -2), (1 * -1) - (1 * 1)) = (-1, 3, -2) ```

Запис канонічного рівняння

Коли в нас є напрямний вектор, ми можемо записати канонічне рівняння прямої з використанням однієї точки на прямій та напрямного вектора. Ми можемо вибрати будь-яку точку, через яку пролягає пряма, але для спрощення обчислень ми можемо взяти точку перетину площин (0, 0, 0).

Канонічне рівняння прямої має наступний вигляд: ``` (x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c ```

Де (x₀, y₀, z₀) - точка на прямій, а (a, b, c) - напрямний вектор.

Підставимо відповідні значення: ``` (x - 0) / -1 = (y - 0) / 3 = (z - 0) / -2 ```

Спростимо це рівняння: ``` -x = 3y = -2z ```

Таким чином, канонічне рівняння прямої для заданих площин має вигляд: ``` -x = 3y = -2z ```

Це є канонічне рівняння прямої, що задане двома площинами.