Question

Уравнение x² - 5x + q = 0 имеет корень 3. Найдите его второй корень и число q. (8 класс)

Answer 1

Ответ:

$\boxed{q = 6}$

$\boxed{x_{2} = 2}$

Объяснение:

$x^{2} - 5x + q = 0$

$x_{1} = 3$

По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

$x_{1} + x_{2} = 5 \Longrightarrow x_{2} = 5 - x_{2} = 5 - 3 = 2$

$q = x_{1}\cdot x_{2} = 3 \cdot 2 = 6$

Answer 2

Для нахождения второго корня уравнения \(x^2 - 5x + q = 0\), если известен один корень \(x_1 = 3\), воспользуемся свойствами квадратных уравнений.

Если \(x_1\) — корень уравнения, то уравнение можно представить в виде \((x - x_1)(x - x_2) = 0\), где \(x_2\) — второй корень. В данном случае:

\((x - 3)(x - x_2) = 0\)

Раскроем скобки:

\(x^2 - 3x - x_2x + 3x_2 = 0\)

Уравнение \(x^2 - 5x + q = 0\) имеет такой же вид, поэтому можно сопоставить коэффициенты при соответствующих степенях переменной:

\[ \begin{align*} x^2 & : 1 \\ x & : -3 - x_2 \\ константа & : 3x_2 \end{align*} \]

Теперь сравним коэффициенты:

1. Коэффициент при \(x^2\) должен быть одинаковым, следовательно, \(1 = 1\). 2. Коэффициент при \(x\) должен быть одинаковым, следовательно, \(-3 - x_2 = -5\).

Решим уравнение для \(x_2\):

\[ \begin{align*} -3 - x_2 & = -5 \\ x_2 & = -5 + 3 \\ x_2 & = -2 \end{align*} \]

Таким образом, второй корень уравнения \(x^2 - 5x + q = 0\) равен \(x_2 = -2\).

3. Коэффициент при константе должен быть одинаковым, следовательно, \(3x_2 = q\).

Подставим найденное значение \(x_2\):

\[3 \cdot (-2) = q\]

\[q = -6\]

Итак, второй корень уравнения \(x^2 - 5x + q = 0\) равен \(x_2 = -2\), а число \(q\) равно \(-6\).