Question

Упростите:tgx+tgy/ctgx+ctgy​

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\frac{tgx+tgy}{Ctgx+Ctgy}=\frac{tgx+tgy}{\frac{1}{tgx}+\frac{1}{tgy} } =\frac{tgx+tgy}{\frac{tgx+tgy}{tgx\cdot tgy} } =\\\\\\=\frac{(tgx+tgy)\cdot tgx\cdot tgy}{tgx+tgy} =tgx\cdot tgy$

Answer 2

Для упрощения данного выражения, давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Имеем: \(\frac{{tgx + tgy}}{{ctgx + ctgy}}\)

Мы знаем, что тангенс и котангенс взаимно обратны друг другу: \(tg(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}\) и \(ctg(x) = \frac{cos(x)}{sin(x)}\).

Давайте выразим \(tg(x)\) и \(ctg(x)\) через друг друга:

\(ctg(x) = \frac{1}{tg(x)} = \frac{cos(x)}{sin(x)}\)

Теперь подставим полученные выражения для \(ctg(x)\) и \(ctg(y)\) в исходное выражение:

\(\frac{{tgx + tgy}}{{ctgx + ctgy}} = \frac{{\frac{sin(x)}{cos(x)} + \frac{sin(y)}{cos(y)}}}{{\frac{1}{tgx} + \frac{1}{tgy}}}\)

Далее объединим дроби в числителе и знаменателе:

\(\frac{{\frac{sin(x) \cdot cos(y) + sin(y) \cdot cos(x)}}{{cos(x) \cdot cos(y)}}}}{{\frac{cos(y) + cos(x)}}{{sin(x) \cdot sin(y)}}}\)

Теперь сократим подобные члены в числителе и знаменателе:

\(\frac{{sin(x) \cdot cos(y) + sin(y) \cdot cos(x)}}{{cos(x) \cdot cos(y)}} \cdot \frac{{sin(x) \cdot sin(y)}}{{cos(y) + cos(x)}}\)

При перемножении получаем:

\(\frac{{sin(x) \cdot sin(y) \cdot (cos(y) + cos(x))}}{{cos(x) \cdot cos(y) \cdot (cos(y) + cos(x))}}\)

И в итоге, выражение упрощается до:

\(\frac{{sin(x) \cdot sin(y)}}{{cos(x) \cdot cos(y)}}\)

И это окончательный результат упрощения заданного выражения: \(\frac{{sin(x) \cdot sin(y)}}{{cos(x) \cdot cos(y)}}\).