Question

Школьный комитет, состоящий из 7 школьников, избирается из 9 мальчиков и 7 девочек. а) Сколькими способами можно выбрать из членов комитета так, чтобы в нем было не менее 3 девочек? б) найдите вероятность того, что в комитете будет не менее 3 девочек

Answer 1

Ответ:

а) 8170

б) ≈ 0,71

Объяснение:

а)

Количество способов выбора m элементов из n - это число сочетаний из n по m:

$C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$

Девочек должно быть не меньше трех. Значит возможны варианты выбора семи школьников в комитет:

3 девочки из семи и 4 мальчика из девяти (применяем правило произведения):

$C_7^3\cdot C_9^4=\dfrac{7!}{3!(7-3)!}\cdot \dfrac{9!}{4!(9-4)!}=$

$=\dfrac{7!}{3!\cdot 4!}\cdot \dfrac{9!}{4!\cdot 5!}=\dfrac{5\cdot 6\cdot 7}{2\cdot 3}\cdot \dfrac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{2\cdot 3\cdot 4}=4410$

4 девочки и 3 мальчика:

$C_7^4\cdot C_9^3=\dfrac{7!}{4!(7-4)!}\cdot \dfrac{9!}{3!(9-3)!}=$

$=\dfrac{7!}{4!\cdot 3!}\cdot \dfrac{9!}{3!\cdot 6!}=\dfrac{5\cdot 6\cdot 7}{2\cdot 3}\cdot \dfrac{7\cdot 8\cdot 9}{2\cdot 3}=35\cdot 84=2940$

5 девочек и 2 мальчика:

$C_7^5\cdot C_9^2=\dfrac{7!}{5!(7-5)!}\cdot \dfrac{9!}{2!(9-2)!}=$

$=\dfrac{7!}{5!\cdot 2!}\cdot \dfrac{9!}{2!\cdot 7!}=\dfrac{6\cdot 7}{2}\cdot \dfrac{8\cdot 9}{2}=21\cdot 36=756$

6 девочек и 1 мальчик:

$C_7^6\cdot C_9^1=\dfrac{7!}{6!(7-6)!}\cdot 9=7\cdot 9=63$

и, наконец, все 7 человек - девочки: 1 способ.

По правилу суммы:

4410 + 2940 + 756 + 63 + 1 = 8170 - количество способов выбрать 7 человек в комитет так, чтобы в нем было не менее трех девочек.

б)

Всего школьников: 9 + 7 = 16 человек.

Количество способов выбрать 7 человек из шестнадцати:

$C_{16}^7=\dfrac{16!}{7!(16-7)!}=\dfrac{16!}{7!\cdot 9!}=$

$=\dfrac{10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}=10\cdot 11\cdot 2\cdot 13\cdot 4=11440$

Вероятность того, что в комитете будет не менее трех девочек:

$P(3)=\dfrac{8170}{11440}\approx 0,71$

Answer 2

a) Сколькими способами можно выбрать из членов комитета так, чтобы в нем было не менее 3 девочек?

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику и принципы сочетаний.

Известно, что в комитете должно быть не менее 3 девочек. Мы можем рассмотреть несколько случаев:

1. Когда в комитете 3 девочки и 4 мальчика. 2. Когда в комитете 4 девочки и 3 мальчика. 3. Когда в комитете 5 девочек и 2 мальчика. 4. Когда в комитете 6 девочек и 1 мальчик. 5. Когда в комитете 7 девочек и 0 мальчиков.

Для каждого случая мы можем использовать сочетания для выбора нужного количества девочек и мальчиков из доступных кандидатов.

1. Когда в комитете 3 девочки и 4 мальчика: - Количество способов выбрать 3 девочки из 7: C(7, 3). - Количество способов выбрать 4 мальчика из 9: C(9, 4). - Общее количество способов: C(7, 3) * C(9, 4).

2. Когда в комитете 4 девочки и 3 мальчика: - Количество способов выбрать 4 девочки из 7: C(7, 4). - Количество способов выбрать 3 мальчика из 9: C(9, 3). - Общее количество способов: C(7, 4) * C(9, 3).

3. Когда в комитете 5 девочек и 2 мальчика: - Количество способов выбрать 5 девочек из 7: C(7, 5). - Количество способов выбрать 2 мальчика из 9: C(9, 2). - Общее количество способов: C(7, 5) * C(9, 2).

4. Когда в комитете 6 девочек и 1 мальчик: - Количество способов выбрать 6 девочек из 7: C(7, 6). - Количество способов выбрать 1 мальчика из 9: C(9, 1). - Общее количество способов: C(7, 6) * C(9, 1).

5. Когда в комитете 7 девочек и 0 мальчиков: - Количество способов выбрать 7 девочек из 7: C(7, 7). - Количество способов выбрать 0 мальчиков из 9: C(9, 0). - Общее количество способов: C(7, 7) * C(9, 0).

Чтобы найти общее количество способов выбрать комитет с не менее чем 3 девочками, мы должны сложить все полученные значения:

Общее количество способов = C(7, 3) * C(9, 4) + C(7, 4) * C(9, 3) + C(7, 5) * C(9, 2) + C(7, 6) * C(9, 1) + C(7, 7) * C(9, 0).

После подсчета всех значений, мы можем сложить их, чтобы получить окончательный ответ.

b) Найдите вероятность того, что в комитете будет не менее 3 девочек.

Для нахождения вероятности мы должны разделить количество способов выбрать комитет с не менее чем 3 девочками на общее количество возможных комитетов.

Общее количество возможных комитетов можно найти, используя сочетания для выбора 7 членов из 16 (9 мальчиков + 7 девочек):

Общее количество возможных комитетов = C(16, 7).

Теперь мы можем найти вероятность:

Вероятность = (Общее количество способов выбрать комитет с не менее чем 3 девочками) / (Общее количество возможных комитетов).

Подставляем значения и рассчитываем вероятность.

Обратите внимание, что для решения этой задачи мы использовали принципы сочетаний и комбинаторики.