Question

Школьный комитет, состоящих из 5 студентов, избирается из 9 мальчиков и 7 девочек. a) Сколькими способами можно выбрать членов комитета? b) Сколькими способами можно выбрать членов комитета так, чтобы в нём было не менее 3 мальчиков? c) Найдите вероятность того, что в комитете будет не менее трех мальчиков.

Answer 1

Відповідь:

а) 4368 способів

б) 1596 способів

в) $\frac{19}{52}$

Пояснення:

Оскільки нам порядок не важливий, то використовуємо комбінацію (C):

а)

$C^5_{9+7}=C^5_{16}=\frac{16!}{5!*(16-5)!} = \frac{16!}{5!*11!} =\frac{16*15*14*13*12}{2*3*4*5} =16*7*13*3=4368$

Відповідь: 4368 способів;

б)

$C^3_7*C^2_9+C^4_7*C^1_9+C^5_7 = \frac{7!}{3!*4!} * \frac{9!}{2!*7!} + \frac{7!}{3!*4!} * \frac{9!}{1!*8!} + \frac{7!}{2!*5!} =\frac{5*6*7*8*9}{2*3*2} +\frac{5*6*7*8*9}{2*3*8} +\\ + \frac{6*7}{2} = 5*7*4*9+5*7*9+3*7=1260+315+21=1596$

Відповідь: 1596 способів;

в)

$p(A)=\frac{m}{n}\\ n =C^5_{16}=4368\\m=C^3_7*C^2_9+C^4_7*C^1_9+C^5_7=1596\\p(A)=\frac{1596}{4368} = \frac{19}{52}$

Відповідь: $\frac{19}{52}$

Answer 2

a) Чтобы выбрать членов комитета, мы должны выбрать 5 студентов из общего числа 16 (9 мальчиков + 7 девочек). Это можно сделать по формуле сочетаний: C(16, 5) = 16! / (5! * (16-5)!) = 4368.

b) Чтобы выбрать комитет с не менее чем 3 мальчиками, мы можем выбрать 3, 4 или 5 мальчиков.

Для выбора комитета с 3 мальчиками, мы должны выбрать 3 мальчиков из 9 и 2 девочки из 7. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(9, 3) * C(7, 2) = (9! / (3! * (9-3)!)) * (7! / (2! * (7-2)!)) = 84 * 21 = 1764.

Для выбора комитета с 4 мальчиками, мы должны выбрать 4 мальчиков из 9 и 1 девочку из 7. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(9, 4) * C(7, 1) = (9! / (4! * (9-4)!)) * (7! / (1! * (7-1)!)) = 126 * 7 = 882.

Для выбора комитета с 5 мальчиками, мы должны выбрать 5 мальчиков из 9 и нет девочек для выбора. Это можно сделать по формуле сочетаний: C(9, 5) * C(7, 0) = (9! / (5! * (9-5)!)) * (7! / (0! * (7-0)!)) = 126 * 1 = 126.

Итак, общее количество способов выбрать комитет с не менее чем 3 мальчиками будет равно сумме всех этих комбинаций: 1764 + 882 + 126 = 2772.

c) Чтобы найти вероятность того, что в комитете будет не менее трех мальчиков, мы должны разделить количество способов выбрать комитет с не менее чем 3 мальчиками на общее количество способов выбрать комитет из 5 студентов.

Вероятность = (количество способов выбрать комитет с не менее чем 3 мальчиками) / (общее количество способов выбрать комитет)

Вероятность = 2772 / 4368 = 0.6341 (округляя до четырех знаков после запятой).

Таким образом, вероятность того, что в комитете будет не менее трех мальчиков, составляет примерно 0.6341 или 63.41%.