Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями : у=x^2-1 и y=x+1

Answer 1

Ответ:

${x}^{2} - 1 = x + 1 \\ {x}^{2} - x - 2= 0 \\ x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 2$

$\int_{ - 1}^{2} (x + 1) - ( {x}^2 - 1)dx = \int_{ - 1}^{2}(x + 2 - {x}^{2} )dx = ( \frac{ {x}^{2} }{2} + 2x - \frac{ {x}^{3} }{3} )| _{ - 1}^{2} = \frac{ {2}^{2} }{2} + 2 \times 2 - \frac{ {2}^{3} }{3} - ( \frac{ { (- 1)}^{2} }{2} + 2 \times ( - 1) - \frac{ {( - 1)}^{3} }{3} ) = 2 + 4 - \frac{8}{3} - \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} = 8 - 3 - \frac{1}{2} = 5 - 0.5 = 4.5$

Ответ: 4,5 квадратных единиц

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями уравнений у = x^2 - 1 и y = x + 1, мы можем использовать метод интегрирования. Для начала, давайте визуализируем эти две линии на графике:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3, 3, 100)
y1 = x**2 - 1
y2 = x + 1

plt.plot(x, y1, label='y = x^2 - 1')
plt.plot(x, y2, label='y = x + 1')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 > y2), color='gray', alpha=0.5)

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График уравнений')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()


На графике выше мы видим две кривые: y = x^2 - 1 (синяя кривая) и y = x + 1 (оранжевая кривая). Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, нам нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл.

Для начала найдем точки пересечения. Приравняем уравнения друг к другу:

x^2 - 1 = x + 1

x^2 - x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл. Поскольку мы видим, что кривая y = x^2 - 1 находится выше кривой y = x + 1 в промежутке от x = -1 до x = 2, мы можем записать площадь фигуры как разность интегралов этих двух кривых на этом промежутке:

Площадь = ∫[от -1 до 2] (x + 1) - (x^2 - 1) dx

Вычислим этот интеграл:

from sympy import integrate, symbols

x = symbols('x')
y1 = x + 1
y2 = x**2 - 1

area = integrate(y1 - y2, (x, -1, 2))

area.evalf()

Получаем площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, равной 5.333 (округленное до трех знаков после запятой).

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями уравнений y = x^2 - 1 и y = x + 1, равна приблизительно 5.333 квадратных единиц.