Question

Докажите, что если а-целое число, то и а⁴/24+а³/4+11а²/24+а/4-есть целое число. ​

Answer 1

$\dfrac{a^4}{24} +\dfrac{a^3}{4} +\dfrac{11a^2}{24} +\dfrac{a}{4},\ a\in\mathbb{Z}$

Преобразуем выражение:

$\dfrac{a^4}{24} +\dfrac{a^3}{4} +\dfrac{11a^2}{24} +\dfrac{a}{4} =\dfrac{a^4}{24} +\dfrac{6a^3}{24} +\dfrac{11a^2}{24} +\dfrac{6a}{24} =\dfrac{a^4+6a^3+11a^2+6a}{24}$

Рассмотрим и преобразуем числитель:

$a^4+6a^3+11a^2+6a=a(a^3+6a^2+11a+6)=$

$=a(a^3+a^2+5a^2+5a+6a+6)=a(a^2(a+1)+5a(a+1)+6(a+1))=$

$=a(a+1)(a^2+5a+6)=a(a+1)(a^2+2a+3a+6)=$

$=a(a+1)(a(a+2)+3(a+2))=a(a+1)(a+2)(a+3)$

Получилось произведение четырех подряд идущих целых чисел.

Из четырех подряд идущих целых чисел гарантированно найдется хотя бы одно, кратное 3. Также, из четырех подряд идущих целых чисел найдется два четных числа, одно из которых не только четное, но и кратно 4.

Таким образом, в произведении гарантированно есть множители 3, 2 и 4. Тогда, такое произведение делится на $3\cdot2\cdot4=24$.

Запишем:

$a(a+1)(a+2)(a+3)\,\vdots\,24$

$\Rightarrow(a^4+6a^3+11a^2+6a)\,\vdots\,24$

В исходной дроби такое выражение как раз делится на 24. Как выясняется, это выражение кратно 24. Значит, результат деления на 24 будет целым числом:

$\dfrac{a^4+6a^3+11a^2+6a}{24}\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow\left(\dfrac{a^4}{24} +\dfrac{a^3}{4} +\dfrac{11a^2}{24} +\dfrac{a}{4} \right)\in\mathbb{Z}$

Доказано.

Answer 2

Давайте докажем это утверждение пошагово.

Предположим, что \( a \) - целое число. Мы хотим доказать, что выражение

\[ \frac{a^4}{24} + \frac{a^3}{4} + \frac{11a^2}{24} + \frac{a}{4} \]

тоже является целым числом.

Для начала, мы можем рассмотреть каждый член отдельно:

1. Член \( \frac{a^4}{24} \): Заметим, что 24 является произведением 2, 3 и 4. Если \( a \) - целое число, то \( a^4 \) также будет целым числом. Таким образом, \( \frac{a^4}{24} \) делится на 24 без остатка.

2. Член \( \frac{a^3}{4} \): Если \( a \) - целое число, то \( a^3 \) также целое. Деление целого числа на 4 также дает целое число.

3. Член \( \frac{11a^2}{24} \): Аналогично, \( a^2 \) будет целым числом, и деление на 24 не изменит этот факт.

4. Член \( \frac{a}{4} \): Если \( a \) - целое число, то и \( \frac{a}{4} \) будет целым числом.

Теперь, сложив все эти члены, мы получаем сумму целых чисел, которая также будет целым числом. Таким образом, если \( a \) - целое число, то и данное выражение будет целым числом.