Question

Найдите решения уравнение 3sin² x-cos²x=3sin x cos x​

Answer 1

$3\sin^2 x-\cos^2x=3\sin x \cos x$

$3\sin^2 x-3\sin x \cos x-\cos^2x=0$

Разделим обе части уравнения на $\cos^2x\neq 0$:

$\dfrac{3\sin^2 x}{\cos^2x} -\dfrac{3\sin x \cos x}{\cos^2x} -\dfrac{\cos^2x}{\cos^2x} =0$

$3\,\mathrm{tg}\,^2 x -3\,\mathrm{tg}\, x-1=0$

Решаем квадратное уравнение относительно тангенса:

$D=(-3)^2-4\cdot3\cdot(-1)=9+12=21$

$\mathrm{tg}\, x=\dfrac{3\pm\sqrt{21} }{6}$

$\boxed{x=\mathrm{arctg}\, \dfrac{3\pm\sqrt{21} }{6} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}}$

Answer 2

Конечно, я помогу с решением данного уравнения.

У нас есть уравнение: \(3\sin^2 x - \cos^2 x = 3\sin x + \cos x\).

Давайте вначале перепишем уравнение, заменив \(\sin^2 x\) выражением \((1 - \cos^2 x)\), и получим:

\[3(1 - \cos^2 x) - \cos^2 x = 3\sin x + \cos x\]

Распишем:

\[3 - 3\cos^2 x - \cos^2 x = 3\sin x + \cos x\]

Объединим похожие члены:

\[4\cos^2 x + \cos x - 3\sin x - 3 = 0\]

Теперь представим \(\cos x\) как \(t\) и \(\sin x\) как \(u\), чтобы преобразовать уравнение в систему:

\[4t^2 + t - 3u - 3 = 0\] \[u = \sin x\] \[t = \cos x\]

Теперь мы можем рассматривать это как систему уравнений. Возможно, нам придется использовать итеративные методы для нахождения численных значений \(t\) и \(u\). Давайте попробуем подставить различные значения \(t\) и \(u\) и проверить, что уравнение выполняется.