Question

Вычислите определённый интеграл от 4 до 1 dx/(2-4x^2)

Answer 1

Объяснение:

$\int\limits^4_1 {(2-4x^2)} \, dx =\int\limits^4_1 {2} \, dx -\int\limits^4_1 {(4x^2)} \, dx=2x\ |_1^4-4*\frac{x^3}{3}\ |_1^4 =\\=2*4-2*1-(4*\frac{4^3}{3} -4*\frac{1^3}{3})=8-2-(\frac{256}{3} -\frac{4}{3})=6-\frac{252}{3} =6-84=-78.$

Answer 2

Чтобы вычислить определенный интеграл от функции dx/(2-4x^2) на интервале от 4 до 1, мы можем использовать метод частных дробей и замену переменной.

Разложение на простые дроби

Сначала разложим функцию dx/(2-4x^2) на простые дроби. Для этого найдем общий знаменатель и разложим его на простые множители:

2-4x^2 = 2(1 - 2x^2) = 2(1 - √2x)(1 + √2x)

Разложение на простые дроби будет иметь вид:

dx/(2-4x^2) = A/(1 - √2x) + B/(1 + √2x)

Нахождение коэффициентов A и B

Чтобы найти коэффициенты A и B, воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Умножим оба выражения на (1 - √2x) и (1 + √2x) соответственно и приведем подобные:

1 = A(1 + √2x) + B(1 - √2x)

Теперь подставим значения x, чтобы упростить выражение:

x = -1/√2 : 1 = A(1 - √2(-1/√2)) + B(1 + √2(-1/√2))

x = 1/√2 : 1 = A(1 + √2(1/√2)) + B(1 - √2(1/√2))

Решая эти уравнения, мы найдем значения коэффициентов A и B:

A = 1/2√2 B = 1/2√2

Замена переменной

Теперь мы можем заменить переменную √2x = t, чтобы упростить интеграл:

dx = dt/(√2)

2 - 4x^2 = 2 - 4(t/√2)^2 = 2 - 2t^2

Вычисление интеграла

Теперь интеграл имеет вид:

∫ dx/(2 - 4x^2) = ∫ dt/(2 - 2t^2)

Выносим 1/2 за знак интеграла:

(1/2) ∫ dt/(1 - t^2/2)

Используем формулу интеграла арктангенса

Используя формулу интеграла арктангенса, мы можем вычислить данный интеграл:

(1/2) arctan(t/√2) + C

Возвращаясь к исходной переменной

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной x:

(1/2) arctan(√2x/√2) + C

(1/2) arctan(x) + C

Вычисление значения определенного интеграла

Чтобы вычислить значение определенного интеграла от 4 до 1, мы вычисляем разность значений функции в этих точках:

(1/2) arctan(1) - (1/2) arctan(4)

Таким образом, определенный интеграл от 4 до 1 dx/(2 - 4x^2) равен:

(1/2) arctan(1) - (1/2) arctan(4)