Question

Решите неравенствоsin(2x-П/3)<=1/2

Answer 1

Дано :

sin (2x-П/3) > 1/2​

Решение :

2x1-П/3=П/6+2Пn

2x1=П/6+П/3+2Пn

2x1=П/2+2Пn

x1=П/4+Пn, n∈z

2x2-П/3=П-П/6+2Пn

2x2=5П/6+П/3+2Пn

2x2=7П/6+2Пn

x2=7П/12+Пn, n∈z

Ответ:

x1=П/4+Пn, n∈z

x2=7П/12+Пn, n∈z

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам необходимо выразить x.

Начнем с неравенства sin(2x-П/3) <= 1/2.

Для начала, перенесем все значения в одну сторону:

sin(2x-П/3) - 1/2 <= 0.

Затем, используя тригонометрические тождества, преобразуем sin(2x-П/3):

sin(2x-П/3) = sin(2x)cos(П/3) - cos(2x)sin(П/3).

sin(П/3) = sqrt(3)/2, cos(П/3) = 1/2.

sin(2x-П/3) = (sqrt(3)/2)sin(2x) - (1/2)cos(2x).

Теперь, заменим sin(2x) и cos(2x) на их эквиваленты, используя тригонометрические тождества:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x).

sin(2x-П/3) = (sqrt(3)/2)(2sin(x)cos(x)) - (1/2)(cos^2(x) - sin^2(x)).

sin(2x-П/3) = sqrt(3)sin(x)cos(x) - (1/2)cos^2(x) + (1/2)sin^2(x).

Итак, мы получили новое уравнение:

sqrt(3)sin(x)cos(x) - (1/2)cos^2(x) + (1/2)sin^2(x) <= 1/2.

Теперь, мы можем преобразовать это уравнение, чтобы выразить его в виде квадратного уравнения:

2sqrt(3)sin(x)cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) <= 1.

Упростим:

2sqrt(3)sin(x)cos(x) - cos^2(x) + sin^2(x) - 1 <= 0.

Теперь, мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

2sqrt(3)sin(x)cos(x) - cos^2(x) + 1 - cos^2(x) - 1 <= 0.

2sqrt(3)sin(x)cos(x) - 2cos^2(x) <= 0.

Вынесем общий множитель:

2(cos(x))(sqrt(3)sin(x) - cos(x)) <= 0.

Теперь рассмотрим два случая:

1. cos(x) = 0.

Если cos(x) = 0, то sin(x) = ±1.

Таким образом, x может быть равен П/2 + Пk, где k - целое число.

2. sqrt(3)sin(x) - cos(x) = 0.

Разделим обе части на cos(x):

sqrt(3)tan(x) - 1 = 0.

sqrt(3)tan(x) = 1.

tan(x) = 1/sqrt(3).

Таким образом, x может быть равен П/6 + Пk, где k - целое число.

Таким образом, решениями исходного неравенства sin(2x-П/3) <= 1/2 являются:

x = П/2 + Пk, где k - целое число, и x = П/6 + Пk, где k - целое число.