Question

Разложите на множители многочлен x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1 и найдите его значение при x = - 4

Answer 1

Дан многочлен $x^5+x^4-2x^3-2x^2+x+1$
Чтобы разложить на множители, нужно понять, при каких иксах многочлен обращается в ноль. Корни должны быть среди делителей свободного члена, то есть 1. Делители это 1 и -1. Проверим х = 1
$1+1-2-2+1+1 = 2-2-2+2 = 0$, значит x = 1 корень. Проверим x = -1
$-1+1+2-2-1+1 = 3-3-1+1 = 0$, значит х= -1 также корень. Можно делить уголком сначала на x+1, затем на x-1, но мы вынесем общий множитель, так пойдёт легче$x^4(x+1)-2x^2(x+1)+(x+1) = (x+1)(x^4-2x^2+1) = (x+1)(x^2-1)^2 = (x+1)(x+1)^2(x-1)^2 = (x+1)^3(x-1)^2$

Тогда выражение при х = -4 принимает вид:
$(-4+1)^3\cdot(-4-1)^2 = (-3)^3\cdot(-5)^2 = -27\cdot25 =-675$

Answer 2

Для разложения многочлена на множители, мы можем использовать теорему о рациональных корнях (теорему Безу). Эта теорема устанавливает, что если рациональное число p/q является корнем многочлена, то p должно быть делителем свободного члена (в данном случае 1), а q должно быть делителем коэффициента при самой старшей степени (в данном случае 1).

Таким образом, мы можем начать проверять рациональные корни, подставляя их в многочлен и проверяя, становится ли значение нулевым. В данном случае, все рациональные корни многочлена x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1 будут делителями 1. Таким образом, мы можем начать проверять значения -1, 1.

Подставим x = -1: (-1)^5 + (-1)^4 - 2(-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 + 2 + 2 - 1 + 1 = 4 Значение не равно нулю.

Подставим x = 1: 1^5 + 1^4 - 2(1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1 = 1 + 1 - 2 - 2 + 1 + 1 = 0 Значение равно нулю.

Таким образом, мы нашли один рациональный корень многочлена: x = 1. Используя синтетическое деление или деление с остатком, мы можем разделить многочлен на (x - 1) и получить остаток 0.

Произведение многочлена (x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1) и (x - 1) равно (x - 1)(x^4 + 2x^3 + x^2 - 3x - 1). Мы можем продолжить разложение многочлена x^4 + 2x^3 + x^2 - 3x - 1 на множители, чтобы получить полное разложение.

Затем, чтобы найти значение многочлена при x = -4, мы можем подставить -4 в разложение и рассчитать его значение.

Давайте продолжим разложение многочлена x^4 + 2x^3 + x^2 - 3x - 1 на множители.