Question

Розв‘яжіть рівняння cos²x+cos x=0

Answer 1

Решите уравнение

ОДЗ уравнения: все числа.

Преобразуем уравнение, воспользуемся формулой двойного аргумента cos2x = 2cos2x – 1, получим:

2cos2x – 1 – cosx = 0

2cos2x – cosx – 1 = 0

Введем новую переменную, пусть cosx = a, тогда

2a2 – a – 1 = 0

D = 9

a1 = 1 и a2 = — 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

cosx = 1 и cosx = — 1/2

Решим 1 уравнение:

cosx = 1

Задание13в21_1

Решим 2 уравнение:

cosx = — 1/2

Задание13в21_2

Задание13в21_3

Все три корня можно объединить в один, для этого воспользуемся единичной окружностью

Задание13в21_4

Из рисунка видно, что корни повторяются через 2π/3, тогда

Задание13в21_5

Answer 2

Для розв'язання рівняння cos²x + cos x = 0 спочатку замінимо cos²x на 1 - sin²x:

1 - sin²x + cos x = 0

Тепер зробимо заміну sin x = t:

1 - t² + √(1 - t²) = 0

Помножимо обидві частини рівняння на √(1 - t²):

√(1 - t²) - t²√(1 - t²) + 1 - t² = 0

Розкриємо дужки:

√(1 - t²) - t²√(1 - t²) + 1 - t² = 0

Розкриємо дужки:

√(1 - t²) - t²√(1 - t²) + 1 - t² = 0

Перенесемо всі доданки на одну сторону рівняння:

√(1 - t²) - t²√(1 - t²) - t² - 1 = 0

Згрупуємо доданки:

(1 - t² - t²)√(1 - t²) - (t² + 1) = 0

Спростимо вираз:

-2t²√(1 - t²) - (t² + 1) = 0

Перенесемо доданок (t² + 1) на іншу сторону рівняння:

-2t²√(1 - t²) = t² + 1

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

4t⁴(1 - t²) = (t² + 1)²

Розкриємо дужки:

4t⁴ - 4t⁶ = t⁴ + 2t² + 1

Перенесемо всі доданки на одну сторону рівняння:

-4t⁶ + 3t⁴ - 2t² - 1 = 0

Розкриємо дужки:

-4t⁶ + 3t⁴ - 2t² - 1 = 0

Поділимо обидві частини рівняння на -1:

4t⁶ - 3t⁴ + 2t² + 1 = 0

Тепер ми отримали поліном шостого ступеня, який можна розв'язати чисельними методами або за допомогою комп'ютерної програми.