Question

Доведіть тотожність 9(а-2)-(а-2)^3=(а+1)(а-2)(5-а)​

Answer 1

Ответ:

$9(a-2)-(a-2)^3=(a-2)(\, 3^2-(a-2)^2\, )=\\\\=(a-2)(3-(a-2)\, )(3+(a-2)\, )=(a-2)(3-a+2)(3+a-2)=\\\\=(a-2)(5-a)(a+1)\\\\\\(a-2)(5-a)(a+1)=(a+1)(a-2)(5-a)$

$\star \ \ (a-b)(a+b)=a^2-b^2\ \ \star$

Answer 2

Для доказательства данной тождественной равенства, мы должны разложить обе части и проверить их равенство.

Начнем с левой стороны: 9(a-2) - (a-2)^3

Сначала упростим выражение (a-2)^3: (a-2)^3 = (a-2)(a-2)(a-2) = (a^2 - 4a + 4)(a-2) = a^3 - 2a^2 - 4a^2 + 8a + 4a - 8 = a^3 - 6a^2 + 12a - 8

Теперь подставим это значение обратно в исходное выражение: 9(a-2) - (a-2)^3 = 9(a-2) - (a^3 - 6a^2 + 12a - 8) = 9a - 18 - a^3 + 6a^2 - 12a + 8 = -a^3 + 6a^2 + 3a - 10

Теперь перейдем к правой стороне: (a+1)(a-2)(5-a)

Раскроем скобки: (a+1)(a-2)(5-a) = (a^2 - a - 2)(5-a) = 5a^2 - 5a - a^3 + a^2 + 2a - 2(5-a) = 5a^2 - 5a - a^3 + a^2 + 2a - 10 + 2a = -a^3 + 6a^2 + 3a - 10

Таким образом, мы видим, что левая и правая стороны равны друг другу: 9(a-2) - (a-2)^3 = (a+1)(a-2)(5-a)

Тождество доказано.