Question

Знайдіть усі пари цілих чисел (a, b) які задовольняють умови a² + b² = a + b + ab

Answer 1

a^2-a(b+1)-(b-b^2)=0  

D=(b+1)^2+4(b-b^2) >= 0

-3b^2+6b+1>=0

3(b-1)^2 <= 4

Откуда 0<=b<=2

Перебирая  

a=b=0

a=0, b=1

a=1, b=0

a=1, b=2

a=2, b=1

a=b=2  

   

Answer 2

Даний вираз a² + b² = a + b + ab представляє рівняння, яке ми можемо розв'язати для знаходження всіх пар цілих чисел (a, b), що задовольняють цю умову.

Давайте розглянемо це рівняння крок за кроком:

1. Спробуємо переписати рівняння у вигляді a² + b² - a - b - ab = 0.

2. Перепишемо це рівняння за допомогою квадратного трьохчлена:

a² + (b - 1)a + (b² - b) = 0.

3. Для того, щоб знайти значення a, застосуємо формулу дискримінанту D = b² - 4ac, де a = 1, b = (b - 1) і c = (b² - b).

D = (b - 1)² - 4(b² - b).

Розкриваємо скобки:

D = b² - 2b + 1 - 4b² + 4b.

Скорочуємо подібні члени:

D = -3b² + 2b + 1.

4. За умовою, ми шукаємо пари цілих чисел (a, b). Це означає, що D повинно бути квадратом цілого числа.

Тому, дослідимо, які значення b задовольняють цю умову.

Знайдемо b, для якого D є квадратом цілого числа:

-3b² + 2b + 1 = k², де k - ціле число.

5. Розв'яжемо це квадратне рівняння для b.

-3b² + 2b + 1 - k² = 0.

Використаємо формулу дискримінанту:

D = 2² - 4(-3)(1 - k²) = 4 + 12k².

Щоб D було квадратом цілого числа, 4 + 12k² повинно бути квадратом цілого числа.

Дослідимо, які значення k задовольняють цю умову.

6. Знайдемо k, для якого 4 + 12k² є квадратом цілого числа.

4 + 12k² = m², де m - ціле число.

Перепишемо це рівняння у вигляді:

12k² = m² - 4.

Розкриваємо праву частину:

12k² = (m - 2)(m + 2).

7. Тепер ми маємо рівняння 12k² = (m - 2)(m + 2), де m і k - цілі числа.

Розділимо обидві частини на 12:

k² = (m - 2)(m + 2) / 12.

8. Зауважимо, що права частина є добутком двох цілих чисел. Це означає, що квадрат цілого числа може бути рівним цілому числу тільки якщо кожний член добутку є квадратом цілого числа.

Тому, дослідимо, які значення m задовольняють цю умову.

Знайдемо m, для якого (m - 2)(m + 2) / 12 є квадратом цілого числа.

9. Переберемо різні значення m, і перевіримо, які значення k задовольняють умову.

Наприклад, якщо m = 4, то (4 - 2)(4 + 2) / 12 = 2² = 4, що задовольняє умову.

Тоді, k² = 4, тому k = ±2.

Відповідно, отримуємо дві пари цілих чисел (a, b): (2, 4) і (2, -2).

10. Повторимо цю процедуру для інших значень m, і знайдемо всі пари цілих чисел (a, b), які задовольняють умову a² + b² = a + b + ab.

У цьому рівнянні є багато пар цілих чисел, які задовольняють умову. Два приклади таких пар цілих чисел - (2, 4) і (2, -2).