Question

Знайдіть область значень і проміжки зростання та спадання функції: 1) f (x) = 2х2-12x + 8; 2) f (x) = 9 + 8x — 0,2х2.

Answer 1

1) это парабола ветвями вверх, а ее абсцисса вершины равна

х₀=-b/2а= -(-12)/(2*2)=3, поэтому возрастает функция при х∈[3;+∞) и убывает при х∈(-∞; 3]

2) ветви этой параболы направлены вниз, поэтому найдя координаты вершины , получим промежутки убывания и возрастания.

х₀=-b/2а= -8/(-0.4)=20, поэтому возрастает функция при х∈(-∞; 20] и убывает при х∈[20;+∞)

можно и через производную

Answer 2

Звичайно, давайте розглянемо обидві функції і знайдемо їх області значень та проміжки зростання та спадання.

Функція 1: \( f(x) = 2x^2 - 12x + 8 \)

Знаходження області значень:

Область значень функції - це множина усіх можливих значень, які функція може приймати. Ця функція - квадратична.

Почнемо з виразу у вигляді квадратичної функції \( f(x) = ax^2 + bx + c \), де: - \( a = 2 \) - \( b = -12 \) - \( c = 8 \)

Знаходження проміжків зростання та спадання:

1. Для знаходження вершини параболи (точки максимуму або мінімуму), використаємо формулу: \( x = -\frac{b}{2a} \). У нашому випадку, \( x = -\frac{-12}{2*2} = \frac{12}{4} = 3 \). 2. Підставимо \( x = 3 \) у функцію: \( f(3) = 2*3^2 - 12*3 + 8 = 2*9 - 36 + 8 = 18 - 36 + 8 = -10 \). Отже, вершина параболи має координати \( (3, -10) \). 3. Коефіцієнт \( a = 2 > 0 \), що означає, що парабола відкривається вгору. Це означає, що функція зростає до вершини (3, -10) та спадає після неї.

Функція 2: \( f(x) = 9 + 8x - 0.2x^2 \)

Знаходження області значень:

Також квадратична функція, але в іншій формі.

В нашому випадку: - \( a = -0.2 \) - \( b = 8 \) - \( c = 9 \)

Знаходження проміжків зростання та спадання:

1. Знову, щоб знайти вершину параболи: \( x = -\frac{b}{2a} \). \( x = -\frac{8}{2*(-0.2)} = -\frac{8}{-0.4} = 20 \). 2. Підставимо \( x = 20 \) у функцію: \( f(20) = 9 + 8*20 - 0.2*20^2 = 9 + 160 - 0.2*400 = 9 + 160 - 80 = 169 \). Отже, вершина параболи має координати \( (20, 169) \). 3. Коефіцієнт \( a = -0.2 < 0 \), що означає, що парабола відкривається вниз. Це означає, що функція спочатку зростає до вершини (20, 169) та потім спадає після неї.

Отже, області значень для першої функції \( f(x) = 2x^2 - 12x + 8 \) будуть всі дійсні числа, тому що це квадратична функція, яка приймає всі значення у певному діапазоні.

Для другої функції \( f(x) = 9 + 8x - 0.2x^2 \), область значень також буде всі дійсні числа, оскільки це також квадратична функція, яка приймає всі значення у певному діапазоні.

Щодо проміжків зростання та спадання: - Для першої функції парабола спочатку зростає до точки (3, -10) і потім спадає. - Для другої функції парабола спочатку зростає до точки (20, 169) і потім спадає.