Question

Найдите все натуральные n для которых число n=n⁴+4 простое. ​

Answer 1

Ответ:

раскладываем на множители

n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=(n^2+2) ^2-(2n^2) ^2=(n^2+2n+2) (n^2-2n+2) - простое, значит n^2-2n+2=1

(n-1) ^2=1

n=1

Answer 2

Для решения данной задачи нужно найти все натуральные числа n, при которых выражение n = n⁴ + 4 является простым числом.

Для начала заметим, что если n четное, то n⁴ + 4 также будет четным числом, так как n⁴ четное. Значит, n не может быть четным числом.

Теперь рассмотрим случай, когда n нечетное. В этом случае можно привести данное уравнение к следующему виду:

n⁴ + 4 = (n²)² + 4 = (n² + 2n + 2)(n² - 2n + 2).

Если n > 1, то оба множителя n² + 2n + 2 и n² - 2n + 2 будут больше 1. Таким образом, если n > 1, то n⁴ + 4 не может быть простым числом.

Остается рассмотреть случай n = 1. Подставляя n = 1 в исходное уравнение, получаем:

1 = 1⁴ + 4 = 1 + 4 = 5.

Число 5 является простым числом.

Таким образом, единственное натуральное n, при котором n = n⁴ + 4 является простым числом, это n = 1.