Question

Решите сиситему линейных алгебрическх уравнений методом Гаусса 3х1+2х2+2х3=1, 3х2+х3+2х4=1, Х1+3х2+2х3=2, Х1+х2+х3+2х4=2.

Answer 1

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{ccccc}3x_1+2x_2+2x_3=1\\3x_2+x_3+2x_4\ \ =1\\x_1+3x_2+2x_3\ \ =2\\x_1+x_2+x_3+2x_4=2\end{array}\right..$

$\left(\begin{array}{ccccc}3&2&2&0&1\\0&3&1&2&1\\1&3&2&0&2\\ 1&1&1&2&2\end{array}\right).$

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

$\left(\begin{array}{ccccc}0&3&1&2&1\\1&3&2&0&2\\1&1&1&2&2\\ 3&2&2&0&1\end{array}\right).$

Добавим 3-ю строку, умноженную на (-1)  ко 2-й строке:

$\left(\begin{array}{ccccc}0&3&1&2&1\\0&2&1&-2&0\\1&1&1&2&2\\ 3&2&2&0&1\end{array}\right).$

Добавим 4-ю строку, умноженную на (-1) к 3-й строке, умноженной на 3:

$\left(\begin{array}{ccccc}0&3&1&2&1\\0&2&1&-2&0\\0&1&1&6&5\\ 3&2&2&0&1\end{array}\right).$

Добавим 2-ю строку, умноженную на (-3) к 1-й строке, умноженной на 2:

$\left(\begin{array}{ccccc}0&0&-1&10&2\\0&2&1&-2&0\\0&1&1&6&5\\ 3&2&2&0&1\end{array}\right).$

Добавим 3-ю строку, умноженную на (-2) к 2-й строке:

$\left(\begin{array}{ccccc}0&0&-1&10&2\\0&0&-1&-14&-10\\0&1&1&6&5\\ 3&2&2&0&1\end{array}\right).$

Добавим 2-ю строку, умноженную на (-1) к 1-й строке:

$\left(\begin{array}{ccccc}0&0&0&24&12\\0&0&-1&-14&-10\\0&1&1&6&5\\ 3&2&2&0&1\end{array}\right).\ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{cccc}24x_4=12\\-x_3-14x_4=-10\ |*(-1)\\x_2+x_3+6x_4=5\\3x_1+2x_2+2x_3=1\end{array}\right\ \ \ \ \left\{\begin{array}{cccc}x_4=0,5\\x_3=3\\x_2+3+6*0,5=5\\3x_1+2x_2+2*3=1\end{array}\right \ \ \ \ \left\{\begin{array}{ccc}x_4=0,5\\x_3=3\\x_2=-1\\x_1=-1\end{array}\right..$

Ответ: x₁=-1,  x₂=-1,  x₃=3,  x₄=0,5.

Answer 2

Для решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, мы будем приводить матрицу коэффициентов и столбец свободных членов к ступенчатому виду. Давайте начнем:

Исходная система уравнений: 3x1 + 2x2 + 2x3 = 1 ...(уравнение 1) 3x2 + x3 + 2x4 = 1 ...(уравнение 2) x1 + 3x2 + 2x3 = 2 ...(уравнение 3) x1 + x2 + x3 + 2x4 = 2 ...(уравнение 4)

Приведем систему к матричному виду [A | B]: A = | 3 2 2 0 | | 0 3 1 2 | | 1 3 2 0 | | 1 1 1 2 |

B = | 1 | | 1 | | 2 | | 2 |

Шаг 1: Приведение к верхнетреугольному виду

Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на коэффициент -1, и из третьего уравнения первое, умноженное на коэффициент 1/3:

A' = | 3 2 2 0 | | 0 1 -1 2 | | 0 2/3 4/3 0 | | 1 1 1 2 |

B' = | 1 | | 0 | | 1 | | 1 |

Шаг 2: Приведение к улучшенному ступенчатому виду

Для этого вычтем из третьего уравнения второе, умноженное на коэффициент 2/3:

A'' = | 3 2 2 0 | | 0 1 -1 2 | | 0 0 6/3 -4/3 | | 1 1 1 2 |

B'' = | 1 | | 0 | | 1 | | 1 |

Шаг 3: Приведение к ступенчатому виду

Для этого вычтем из четвертого уравнения первое, умноженное на коэффициент 1/3:

A''' = | 3 2 2 0 | | 0 1 -1 2 | | 0 0 2 -4/3 | | 0 -1 -1 2 |

B''' = | 1 | | 0 | | 1 | | 0 |

Шаг