Question

при каких значениях параметра c неравенство log2 (x ^ 2 - (2c - 4) * x - 6c + 20) > 3 имеет решение при всех x∈R?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_2(x^2-(2c-4)x-6c+20)>3\\x^2-(2c-4)x-6c+20>8$

Эта строчка хорошо показывает, что аргумент логарифма есть число положительное, что избавляет от исследования ОДЗ.

Идем дальше:

$x^2-(2c-4)x-6c+20>8\\x^2-(2c-4)x-6c+12>0$

Введем функцию $f(x)=x^2-(2c-4)x-6c+12$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Тогда неравенство будет верно при всех $x$, если дискриминант будет отрицательный.

Значит:

$\dfrac{D}{4}=(c-2)^2+6c-12=c^2+2c-8=(x+4)(x-2)$

Откуда получаем, что при $c\in(-4;\;2)$ исходное неравенство выполняется для любого $x\in\mathbb{R}$.

Задание выполнено!

Answer 2

При решении данного неравенства, мы хотим найти значения параметра c, при которых неравенство выполняется для всех значений x из множества действительных чисел R.

Для начала, давайте рассмотрим само неравенство:

log2(x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20) > 3

Чтобы найти значения параметра c, при которых это неравенство выполняется для всех x из R, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем область определения логарифма: x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 > 0. Это неравенство определяет значения x, при которых аргумент логарифма положителен.

2. Решим неравенство x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 > 0. Это неравенство позволит нам найти значения x, при которых аргумент логарифма положителен.

3. Проверим, выполняется ли неравенство log2(x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20) > 3 для всех значений x из области определения.

Давайте рассмотрим каждый из этих шагов подробнее.

Шаг 1: Область определения логарифма

Для того чтобы аргумент логарифма был положителен, необходимо, чтобы выражение x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 было больше нуля.

Шаг 2: Решение неравенства

Для решения неравенства x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 > 0, мы можем использовать различные методы, такие как графический метод, метод интервалов или метод дискриминанта. В данном случае, я рекомендую использовать метод дискриминанта.

Дискриминант квадратного уравнения x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 = 0 равен D = (2c - 4)^2 - 4 * 1 * (-6c + 20) = 4c^2 - 16c + 16 - 24c + 80 = 4c^2 - 40c + 96.

Чтобы найти значения c, при которых неравенство x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 > 0 выполняется, необходимо рассмотреть три случая:

Случай 1: D > 0. В этом случае, квадратное уравнение имеет два различных корня, и неравенство выполняется для всех значений x между этим