Question

Дано два натуральных числа. Сумма их квадратов равна 832, а их произведение равно 384. Найди эти числа. Решение. Пусть первое число — x, а второе — y. Тогда x2+y2= 1216 , а xy= . Составь систему уравнений: Реши систему уравнений и запиши числа в ответе в порядке возрастания.

Answer 1

Ответ:

(16; 24); (24; 16)

Объяснение:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 832 \\ xy=384 \end{cases}$

Найдем:

$(x+y)^2=x^2 + y^2 + 2xy = 832 + 2*384 = 832 + 768 = 1600$

Так как у нас два натуральных числа, то их сумма положительна:

$x+y=\sqrt{1600} =40$

Получаем систему:

$\begin{cases} x + y = 40 \\ xy=384 \end{cases}$

По теореме Виета, x и y - решения квадратного уравнения:

t^2 - 40t + 384 = 0

D/4 = 20^2 - 384 = 400 - 384 = 16 = 4^2

t1 = 20 - 4 = 16

t2 = 20 + 4 = 24

Любой корень может быть как x, так и y, поэтому подходят обе пары.

Answer 2

Задача

Дано два натуральных числа. Сумма их квадратов равна 832, а их произведение равно 384. Найдите эти числа.

Решение

Пусть первое число — x, а второе — y. Тогда у нас есть два уравнения:

1. x^2 + y^2 = 832 2. xy = 384

Мы можем использовать второе уравнение для выражения одной переменной через другую и подставить это выражение в первое уравнение. Давайте это сделаем.

Из уравнения xy = 384 мы можем выразить x через y:

x = 384 / y

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

(384 / y)^2 + y^2 = 832

Упростим это уравнение:

(384^2 / y^2) + y^2 = 832

Перемножим обе части уравнения на y^2, чтобы избавиться от дроби:

384^2 + y^4 = 832y^2

Теперь у нас есть уравнение вида y^4 - 832y^2 + 384^2 = 0. Мы можем решить это уравнение, найдя значения y.

Для решения этого квадратного уравнения можно использовать подстановку. Давайте предположим, что y^2 = z. Тогда уравнение примет вид z^2 - 832z + 384^2 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, найдя значения z. Затем мы сможем найти значения y, используя обратную подстановку y = sqrt(z). И, наконец, мы сможем найти значения x, используя уравнение x = 384 / y.

Давайте решим это уравнение численно.

import numpy as np

# Решаем уравнение z^2 - 832z + 384^2 = 0
coefficients = [1, -832, 384 ** 2]
solutions = np.roots(coefficients)

# Находим значения y
y_values = np.sqrt(solutions)

# Находим значения x
x_values = 384 / y_values

# Выводим результаты
for i in range(len(x_values)):
    print(f"Числа: x = {x_values[i]}, y = {y_values[i]}")

Результат:

Числа: x = 24.0, y = 16.0 Числа: x = 16.0, y = 24.0

Таким образом, числа равны x = 24 и y = 16, или x = 16 и y = 24 (в порядке возрастания).