Question

Помогите! Решить уравнение: x^8=(3x-2)^4

Answer 1

$\tt~x^8=(3x-2)^4.$ Извлечем корень из обеих частей уравнения ⇒

$\sqrt[4]{x^8} =\sqrt[4]{(3x-2)^4} \Rightarrow x^2=\bigg|3x-2\bigg|\Leftrightarrow x^2-\bigg|3x-2\bigg|=0.$ Имеем два случая:

$1)~~~x^2-(3x-2)=0,~\underbrace{3x-2\geq 0} _{x\geq \dfrac{2}{3} }$⇒ $x^2-3x+2=0.$

По т. Виета: $\displaystyle\left \{ {{x_1\cdot x_2=2} \atop {x_1+x_2=3}} \right. \Longrightarrow x_1=1~;~x_2=2.$

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

$2)~~~x^2-(-(3x-2))=0,~~\underbrace{3x-2$

Ответ: $\boxed{\bf x_1=\dfrac{-3-\sqrt{17} }{2} ;~x_2=\dfrac{-3+\sqrt{17} }{2} ;~x_3=1;~x_4=2}.$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение поэтапно.

Шаг 1: Возведение в степень Сначала раскроем степень на правой стороне уравнения. Имеем:

x^8 = (3x-2)^4

Теперь раскроем скобку по формуле бинома Ньютона:

x^8 = (3x)^4 - 4 * (3x)^3 * 2 + 6 * (3x)^2 * 2^2 - 4 * (3x) * 2^3 + 2^4

Таким образом, уравнение принимает вид:

x^8 = 81x^4 - 216x^3 + 216x^2 - 96x + 16

Шаг 2: Приведение подобных Теперь приведем все члены уравнения в одну степень:

x^8 - 81x^4 + 216x^3 - 216x^2 + 96x - 16 = 0

Шаг 3: Факторизация Заметим, что данное уравнение является полиномом восьмой степени, и его факторизация может быть сложной задачей. В данном случае нет явного способа факторизовать уравнение.

Шаг 4: Численное решение Однако, мы можем численно решить данное уравнение, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволяют найти приближенное значение корней уравнения.

Пожалуйста, уточните, хотите ли вы найти приближенные значения корней или есть ли у вас какие-либо другие вопросы.