Question

Методом выделения полного квадрата решить уравнения (решение + ответ) 1) 4x^2 - 8x + 3 = 0 2)x^2-5x-14=0 3)x^2-10x - 24 = 0 4)x^2+3x-18=0 5)x^2+14x+40=0

Answer 1

Ответ:

1) 4x²-8x+3=0

4x²-8x=-3

x²-2x= - 3/4

x²-2x+?= - 3/4+ ?

x²-2x+1= - 3/4+ ?

x²-2x+1= - 3/4 +1

(x-1)²=1/4

x1= 1/2

x2= 3/2

2)x²-5x-14= 0

x²-5x=14

x²-5x+?= 14+ ?

x²-5x+ 25/4 = -14+ 25/4

(x - 5/2)² = 81/4

x1= -2

x2 = 7

3) x²-10x-24= 0

x²-10x=24

x²-10+25= 24+25

(x-5)²= 49

x1=-2

x=12

4) x²+3x-18=0

x²-3x=18

x²-3x + 9/4 = 18+ 9/4

(x+ 3/2)²= 81/4

x1= -6

x2= 3

5) x²+14x+40=0

x²+14x= -40

x²+ 14 + 49 = -40 + 49

( x+7)²= 9

x1= -10

x2= -4

Answer 2

Решение уравнений методом выделения полного квадрата

Для решения уравнений методом выделения полного квадрата, мы должны преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы одна из сторон стало полным квадратом. Затем мы можем воспользоваться свойствами квадратных корней, чтобы найти значения x.

Давайте решим каждое из данных уравнений по очереди:

Уравнение 1: 4x^2 - 8x + 3 = 0

1. Перенесем свободный член на другую сторону уравнения: 4x^2 - 8x = -3

2. Чтобы выделить полный квадрат, мы должны добавить и вычесть половину коэффициента при x и возведенный в квадрат: 4x^2 - 8x + (-8/2)^2 = -3 + (-8/2)^2 4x^2 - 8x + 4 = -3 + 16 4x^2 - 8x + 4 = 13

3. Преобразуем левую часть уравнения в квадрат: (2x - 2)^2 = 13

4. Применим квадратный корень к обеим сторонам уравнения: 2x - 2 = ±√13

5. Решим полученное уравнение относительно x: 2x = 2 ± √13 x = (2 ± √13) / 2

Ответ: x = (2 + √13) / 2, x = (2 - √13) / 2

Уравнение 2: x^2 - 5x - 14 = 0

1. Перенесем свободный член на другую сторону уравнения: x^2 - 5x = 14

2. Выделим полный квадрат, добавив и вычтя половину коэффициента при x и возведенный в квадрат: x^2 - 5x + (-5/2)^2 = 14 + (-5/2)^2 x^2 - 5x + 25/4 = 14 + 25/4 x^2 - 5x + 25/4 = 89/4

3. Преобразуем левую часть уравнения в квадрат: (x - 5/2)^2 = 89/4

4. Применим квадратный корень к обеим сторонам уравнения: x - 5/2 = ±√(89/4)

5. Решим полученное уравнение относительно x: x = 5/2 ± √(89/4)

Ответ: x = (5 ± √89) / 2

Уравнение 3: x^2 - 10x - 24 = 0

1. Перенесем свободный член на другую сторону уравнения: x^2 - 10x = 24

2. Выделим полный квадрат, добавив и вычтя половину коэффициента при x и возведенный в квадрат: x^2 - 10x + (-10/2)^2 = 24 + (-10/2)^2 x^2 - 10x + 25 = 24 + 25 x^2 - 10x + 25 = 49

3. Преобразуем левую часть уравнения в квадрат: (x - 5)^2 = 49

4. Применим квадратный корень к обеим сторонам уравнения: x - 5 = ±√49

5. Решим полученное уравнение относительно x: x = 5 ± 7 x = 12, x = -2

Ответ: x = 12, x = -2

Уравнение 4: x^2 + 3x - 18 = 0

1. Перенесем свободный член на другую сторону уравнения: x^2 + 3x = 18

2. Выделим полный квадрат, добавив и вычтя половину коэффициента при x и возведенный в квадрат: x^2 + 3x + (3/2)^2 = 18 + (3/2)^2 x^2 + 3x + 9/4 = 18 + 9/4 x^2 + 3x + 9/4 = 81/4 + 9/4 x^2 + 3x + 9/4 = 90/4

3. Преобразуем левую часть уравнения в квадрат: (x + 3/2)^2 = 90/4

4. Применим квадратный корень к обеим сторонам уравнения: x + 3/2 = ±√(90/4)

5. Решим полученное уравнение относительно x: x = -3/2 ± √(90/4)

Ответ: x = (-3 ± √90) / 2

Уравнение 5: x^2 + 14x + 40 = 0

1. Перенесем свободный член на другую сторону уравнения: x^2 + 14x = -40

2. Выделим полный квадрат, добавив и вычтя половину коэффициента при x и возведенный в квадрат: x^2 + 14x + (14/2)^2 = -40 + (14/2)^2 x^2 + 14x + 49 = -40 + 49 x^2 + 14x + 49 = 9

3. Преобразуем левую часть уравнения в квадрат: (x + 7)^2 = 9

4. Применим квадратный корень к обеим сторонам уравнения: x + 7 = ±√9

5. Решим полученное уравнение относительно x: x = -7 ± 3 x = -10, x = -4

Ответ: x = -10, x = -4

Таким образом, мы получили решения для каждого из предложенных уравнений, используя метод выделения полного квадрата.