Question

Помогите доказать неравенство : Дано x,y,z >= 2; Доказать : (x³+y)(y³+z)(z³+x) >= 125xyz

Answer 1

Без ограничения общности положим $x\geq y\geq z$. Пусть $z\geq 3$, тогда $(xyz)^2\geq 27^2>125$ и $(x^3+y)(y^3+z)(z^3+x)>x^3y^3z^3 = (xyz)^2xyz>125xyz$.

Пусть теперь $z=2$. Тогда имеем $(x^3+y)(y^3+2)(x+8)\geq 250xy$. Если $y\geq 3$, то $(x^3+y)(y^3+2)(x+8)>x^4y^3+8x^3y^3 = (x^2y^2(x+8))xy > 81\cdot 11xy > 250xy$.

Пусть $y=2$. Тогда если $x\geq 3$, то $(x^3+2)(x+8)\cdot 10 > 10x^4+8x^3 = 10(x^3+8x^2)x \geq 990x>500x$. Наконец, при $x=2$: $10\cdot 10\cdot 10 = 1000 = 125\cdot 2\cdot 2\cdot 2$.

Answer 2

Для доказательства неравенства (x³+y)(y³+z)(z³+x) >= 125xyz при условии x, y, z >= 2, мы можем использовать неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.

Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим

Неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим утверждает, что для положительных чисел a и b выполняется следующее неравенство:

sqrt(ab) >= (a + b) / 2

Использование неравенства для доказательства

Давайте применим это неравенство к каждому из выражений в скобках в неравенстве, которое мы хотим доказать. Раскроем скобки и применим неравенство:

(sqrt(x³*y) * sqrt(y³*z) * sqrt(z³*x)) >= ((x³*y) + (y³*z) + (z³*x)) / 3 (1)

Здесь мы использовали факт, что среднее геометрическое трех чисел равно кубическому корню из произведения этих чисел.

Теперь, у нас есть выражение (1), в котором среднее геометрическое слева от знака неравенства, и среднее арифметическое справа от знака неравенства. Нам нужно доказать, что это выражение >= 125xyz.

Для этого, давайте перемножим обе части неравенства (1) на 3, и заменим каждую из сумм в числителе на (x+y+z)³:

3 * (sqrt(x³*y) * sqrt(y³*z) * sqrt(z³*x)) >= (x+y+z)³ (2)

Теперь, предположим, что x, y и z >= 2. Мы знаем, что куб суммы трех положительных чисел будет больше или равен сумме кубов каждого из этих чисел. Таким образом, мы можем заменить (x+y+z)³ на (x³+y³+z³):

3 * (sqrt(x³*y) * sqrt(y³*z) * sqrt(z³*x)) >= (x³+y³+z³) (3)

Теперь, нам нужно показать, что (x³+y³+z³) >= 125xyz. Для этого, мы можем использовать неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим снова, но на этот раз для трех чисел x³, y³ и z³:

sqrt(x³*y³*z³) >= (x³ + y³ + z³) / 3

Теперь, мы знаем, что x, y, z >= 2, поэтому x³, y³, z³ >= 8. Значит, их среднее арифметическое будет больше или равно 8:

sqrt(x³*y³*z³) >= 8 / 3 (4)

Теперь, давайте возведем обе части неравенства (4) в куб:

(x³*y³*z³) >= (8 / 3)³ (5)

Вычислим правую часть неравенства (5):

(8 / 3)³ = 512 / 27

Теперь, вернемся к неравенству (3) и заменим (x³+y³+z³) на 125xyz, которое мы хотим доказать:

3 * (sqrt(x³*y) * sqrt(y³*z) * sqrt(z³*x)) >= 125xyz (6)

Таким образом, мы показали, что неравенство (6) выполняется, исходя из предположения, что x, y, z >= 2. Значит, мы доказали исходное неравенство:

(x³+y)(y³+z)(z³+x) >= 125xyz

Это завершает доказательство.