Question

Доказать что для любых положительных чисел а,в,с верно неравенство а+в+с+1>2(√ав+√с)​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

a>0;b>0;c>0

воспользуемся неравенством о средних

a+b≥2√(a·b)

c+1≥2√(c·1)

a+b+c+1≥2√(a·b)+2√(c·1)=2(√(ab)+√с)

доказано

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы начнем с предположения, что a, b и c являются положительными числами. Давайте разобьем доказательство на несколько шагов.

Шаг 1: Применение неравенства о средних значениях

Воспользуемся неравенством о средних значениях, которое гласит, что для любых положительных чисел x и y выполняется неравенство:

√xy ≤ (x + y) / 2

Шаг 2: Применение неравенства о средних значениях к выражению √(а*в) и √с

Применяя неравенство о средних значениях из шага 1 к выражению √(а*в) и √с, мы получаем:

√(а*в) ≤ (а + в) / 2 √с ≤ с

Шаг 3: Сложение полученных неравенств

Теперь сложим полученные неравенства из шага 2:

(√(а*в) + √с) ≤ (а + в) / 2 + с

Шаг 4: Применение неравенства о средних значениях к (а + в) / 2 и с

Еще раз воспользуемся неравенством о средних значениях из шага 1, но на этот раз применим его к выражению (а + в) / 2 и с:

((а + в) / 2) * с ≤ (а + в + 2с) / 4

Шаг 5: Применение неравенства a + b ≥ 2√(ab)

Теперь воспользуемся неравенством a + b ≥ 2√(ab), которое верно для любых положительных чисел a и b:

(а + в + 2с) / 4 ≥ 2√((а + в) / 2 * с)

Шаг 6: Замена выражения внутри корня

Заменим выражение внутри корня в правой части неравенства выражением, полученным в шаге 4:

(а + в + 2с) / 4 ≥ 2√((а + в + 2с) / 4)

Шаг 7: Упрощение неравенства

Упростим полученное неравенство:

(а + в + 2с) / 4 ≥ √((а + в + 2с) / 4)

Шаг 8: Возведение в квадрат обеих частей неравенства

Возведем в квадрат обе части неравенства:

((а + в + 2с) / 4)^2 ≥ (а + в + 2с) / 4

Шаг 9: Упрощение неравенства

Упростим полученное неравенство:

(а + в + 2с)^2 ≥ 4(а + в + 2с)

Шаг 10: Раскрытие скобок

Раскроем скобки в левой части неравенства:

а^2 + в^2 + 4с^2 + 2ав + 4вс + 4ас ≥ 4а + 4в + 8с

Шаг 11: Упрощение неравенства

Упростим полученное неравенство:

а^2 + в^2 + 4с^2 + 2ав + 4вс + 4ас - 4а - 4в - 8с ≥ 0

Шаг 12: Раскрытие скобок

Раскроем скобки и упростим полученное неравенство:

а^2 - 2а + в^2 - 2в + 4с^2 - 8с + 2ав + 4вс + 4ас ≥ 0

Шаг 13: Факторизация

Факторизуем полученное неравенство:

(а - 1)^2 + (в - 1)^2 + 4(с - 1)^2 + 2(а - 1)(в - 1) + 4(с - 1)^2 + 4ас ≥ 0

Шаг 14: Упрощение неравенства

Упростим полученное неравенство:

(а - 1)^2 + (в - 1)^2 + 4(с - 1)^2 + 2(а - 1)(в - 1) + 4ас ≥ 0

Шаг 15: Вывод

Таким образом, мы доказали, что для любых положительных чисел a, b и c выполняется неравенство:

а^2 + в^2 + 4с^2 + 2ав + 4вс + 4ас ≥ 2(а√(в) + с√(а))

Это завершает наше доказательство.