Question

Корень из 3/2*cosx+1/2*sinx=1

Answer 1

$\frac{\sqrt{3} }{2} cosx+\frac{1}{2} sinx=1\\cos30* cosx+sin30* sinx=1\\cos(x-30)=1\\x-30=2\pi n \\x=30+2\pi n\\x=\frac{\pi }{6} +2\pi n$

Answer 2

Ответ: Нужно знать:

1) формулы сложения: sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ;

                                       cos(α + β) = cosα · cosβ - sinα · sinβ;

                                       cos(α - β) = cosα · cosβ + sinα · sinβ;

2) sin30° = 1/2; cos30° = √3/2; sin60° = √3/2; cos60° = 1/2;

3) формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

  sinx = a, x = (-1)ⁿ · arcsina + πn, n ∈ Z;    cosx = a, x = ±arccosa + 2πn, n ∈ Z;

4) частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений:

 sinx = 1, х = π/2 + 2πn, n ∈ Z;        cosx = 1, x = 2πn, n ∈ Z;

 sinx = 0, x = πn, n ∈ Z;      cosx = 0, x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Поэтому:

а) √3/2cos x - 1/2 sin x = 1,

  cos(π/6) · cosx - sin(π/6) · sinx = 1,

  cos(x + π/6) = 1,

  x + π/6 = 2πn, n ∈ Z,

  x = -π/6 + 2πn, n ∈ Z;

Объяснение:

Answer 3

Для решения данного уравнения необходимо привести его к более удобному виду.

Для начала, заметим, что мы можем представить число 1 в виде суммы квадратов синуса и косинуса:

1 = cos^2(x) + sin^2(x)

Теперь заменим корень из 3/2 на синус угла, а 1/2 на косинус угла:

√(3/2) * cos(x) + 1/2 * sin(x) = √(3/2) * sin(x) + 1/2 * cos(x)

Теперь приведем все слагаемые синусов и косинусов в одну часть уравнения:

√(3/2) * cos(x) - 1/2 * cos(x) = √(3/2) * sin(x) - 1/2 * sin(x)

√(3/2) * cos(x) - 1/2 * cos(x) - √(3/2) * sin(x) + 1/2 * sin(x) = 0

Теперь можно сократить на 1/2 и привести подобные слагаемые:

2 * √(3/2) * cos(x) - 2 * √(3/2) * sin(x) = 0

√(3) * cos(x) - √(3) * sin(x) = 0

Теперь выносим за скобку √(3):

√(3) * (cos(x) - sin(x)) = 0

Таким образом, получаем два уравнения:

1) √(3) * cos(x) = 0

cos(x) = 0

x = π/2 + kπ, где k - целое число

2) cos(x) - sin(x) = 0

cos(x) = sin(x)

Так как sin(x) = cos(π/2 - x), то получаем:

cos(x) = cos(π/2 - x)

x = π/4 + kπ, где k - целое число

Таким образом, общее решение уравнения будет выглядеть:

x = π/2 + kπ, где k - целое число

x = π/4 + kπ, где k - целое число

Answer 4

Для начала давайте решим данное уравнение. Уравнение, которое вы предоставили, выглядит следующим образом:

$\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x) = 1$

Давайте рассмотрим его подробнее и найдем решение.

Приведение уравнения к более удобному виду

Первым шагом в решении данного уравнения будет приведение его к более удобному виду. Мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы заменить сумму тригонометрических функций на одну функцию. В данном случае мы можем использовать тождество $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

$\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x) = 1$

$\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x) + \sqrt{1 - \cos^2(x)} = 1$

Теперь мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x) + \sqrt{1 - \cos^2(x)}\right)^2 = 1^2$

$\frac{3}{2}\cos^2(x) + 2\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x)\sqrt{1 - \cos^2(x)} + 1 - \cos^2(x) = 1$

Упрощение уравнения

Теперь давайте упростим полученное уравнение, соберем все члены вместе и упростим выражение:

$\frac{3}{2}\cos^2(x) + 1 - \cos^2(x) + 2\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x)\sqrt{1 - \cos^2(x)} = 1$

$\frac{3}{2}\cos^2(x) - \cos^2(x) + 2\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x)\sqrt{1 - \cos^2(x)} = 0$

$\frac{1}{2}\cos^2(x) + 2\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x)\sqrt{1 - \cos^2(x)} = 0$

Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить.

Решение уравнения

Давайте рассмотрим два случая решения этого уравнения.

Случай 1: $\cos(x) = 0$

Если $\cos(x) = 0$, то у нас есть одно решение. Подставим это значение в исходное уравнение:

$\sqrt{\frac{3}{2}}\cos(x) + \frac{1}{2}\sin(x) = 1$

$\sqrt{\frac{3}{2}}\cdot 0 + \frac{1}{2}\sin(x) = 1$

$\frac{1}{2}\sin(x) = 1$

$\sin(x) = 2$

Однако, синус функция ограничена значениями от -1 до 1, поэтому здесь нет решений.

Случай 2: $\cos(x) \neq 0$

Если $\cos(x) \neq 0$, то мы можем разделить уравнение на $\cos(x)$:

$\frac{1}{2}\cos(x) + 2\sqrt{\frac{3}{2}}\sqrt{1 - \cos^2(x)} = 0$

$\frac{1}{2}\cos(x) + 2\sqrt{\frac{3}{2}}\sin(x) = 0$

$\cos(x) + 4\sqrt{\frac{3}{2}}\sin(x) = 0$

Теперь мы можем использовать тригонометрическую формулу для синуса и косинуса суммы двух углов:

$\cos(x + \arctan(2\sqrt{\frac{3}{2}})) = 0$

Теперь мы должны найти все значения $x$, которые удовлетворяют этому уравнению. Здесь $x + \arctan(2\sqrt{\frac{3}{2}})$ является углом, для которого косинус равен нулю. Косинус равен нулю в точках $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, и т.д. То есть, мы должны найти все значения $x$, которые удовлетворяют:

$x + \arctan(2\sqrt{\frac{3}{2}}) = \frac{\pi}{2} + n\pi$

где $n$ - целое число.

Таким образом, решение исходного уравнения будет:

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi - \arctan(2\sqrt{\frac{3}{2}})$, где $n$ - целое число.

Если вам нужны конкретные числовые значения, пожалуйста, уточните, какое значение $x$ вам интересно.