Question

Постройте график функции f(x)=x интеграл 0(2t+8)dt. Найдите область значений этой функции

Answer 1

Ответ:

С помощью линейности интеграла и таблицы первообразных формально находим неопределенный интеграл

∫ (2t + 8)dt = ∫2tdt + 8 ∫dt = t² + 8t + C

По тереме Ньютона-Лейбница определённый интеграл от 0 до x (то есть наша функция f(x)) равен разности значений первообразной на границах интегрирования, то есть

f(x) = (x² + 8x + C) - (0² + 8*0 + C) = x² + 8x

График этой функции — парабола. Коэффициент перед квадратом > 0, стало быть, ветви вверх. Нули: x² + 8x = 0, то есть x = 0 и x = -8. Вершина параболы и она же по совместительству точка минимума — -8/2 = -4. Значение в минимуме (-4)² - 8*4 = -16. Теперь мы готовы строить график (см. картинку)

Соответственно, область значений — от минимума до плюс бесконечности, то есть [-16, +∞)

Answer 2

Для построения графика функции f(x) = x∫₀^(2t+8)dt, сначала найдём значение этой функции для различных значений x.

Интегрируя функцию (2t + 8) по переменной t от 0 до (2t + 8), получаем:

∫₀^(2t+8)(2t + 8)dt = (t² + 8t) ∣₀^(2t+8) = (2t + 8)² + 8(2t + 8) - 0 = 4t² + 32t + 64 + 16t + 64 = 4t² + 48t + 128.

Теперь, чтобы найти значение функции f(x) = x∫₀^(2t+8)dt, мы подставим x вместо t:

f(x) = 4x² + 48x + 128.

Таким образом, мы получили квадратичную функцию f(x) = 4x² + 48x + 128.

Теперь построим график этой функции:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100) y = 4x**2 + 48x + 128

plt.plot(x, y) plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.title('График функции f(x) = x∫₀^(2t+8)dt') plt.grid(True) plt.show()

График функции f(x) = x∫₀^(2t+8)dt будет являться параболой, открывающейся вверх. Область значений этой функции будет зависеть от значения x.