Question

3. Знайдіть похідну функції: а) f(x) = 3x³√x б) f(x) = x² sinx В) f(x) = (2x - 1)³ Г)f(x) = tg5x

Answer 1

а) f'(x) = (3x³√x)'= (3x³ ¹/²)'=3* (x⁷/²)'=(3*7/2)x⁵/²=10.5)x²√x²;

б) f'(x) = (x² sinx)'=2x*sinx+x²*cosx; (uv)'=u'v+uv'

В) f'(x) = ((2x - 1)³ )'=3*2(2x-1)²=6(2x-1)², производную степенной еще умножаем на производную линейной функции 2х-1.

Г) f'(x) = tg5x=5/(cos²5x)- производную тангенса умножаем на производную 5х

Answer 2

Похідна функції а)

Для знаходження похідної функції f(x) = 3x³√x, спочатку розкриємо степінь √x:

f(x) = 3x³ * x^(1/2)

Тепер застосуємо правило диференціювання добутку функцій:

f'(x) = (3x³)' * (x^(1/2)) + (3x³) * (x^(1/2))'

Диференціюємо кожен доданок окремо. Почнемо з першого доданка:

(3x³)' = 3 * (3x³)''

Диференціюємо додаток 3x³:

(3x³)' = 3 * (3)' * (x³) + 3 * (3x³)'

(3x³)' = 3 * 0 * (x³) + 3 * (3x³)'

(3x³)' = 0 + 9x²

Тепер диференціюємо другий доданок:

(x^(1/2))' = (1/2) * x^(-1/2)

Тепер, після диференціювання обох доданків, ми маємо:

f'(x) = 9x² * (x^(1/2)) + 3x³ * (1/2) * x^(-1/2)

Спростимо вираз: f'(x) = 9x^(5/2) + (3/2)x^(7/2)

Похідна функції б)

Для знаходження похідної функції f(x) = x² + sinx, знаходимо похідну кожного доданку окремо:

(f(x))' = (x²)' + (sinx)'

Диференціюємо перший доданок:

(x²)' = 2x

Диференціюємо другий доданок:

(sinx)' = cosx

Після диференціювання обох доданків маємо:

f'(x) = 2x + cosx

Похідна функції в)

Для знаходження похідної функції f(x) = (2x - 1)³, спочатку розкриваємо куб виразу (2x - 1):

f(x) = (2x - 1) * (2x - 1) * (2x - 1)

f(x) = (2x - 1)² * (2x - 1)

Тепер застосуємо правило диференціювання добутку функцій:

f'(x) = ((2x - 1)² * (2x - 1))' + ((2x - 1)²)' * (2x - 1)

Диференціюємо кожен доданок окремо. Почнемо з першого доданка:

((2x - 1)² * (2x - 1))' = (2x - 1)' * (2x - 1)² + (2x - 1) * ((2x - 1)²)'

Диференціюємо перший доданок:

(2x - 1)' = 2

Диференціюємо другий доданок:

((2x - 1)²)' = 2 * (2x - 1)

Тепер диференціюємо третій доданок:

((2x - 1)²) = 2 * (2x - 1) * (2x - 1)'

Диференціюємо додаток (2x - 1):

(2x - 1)' = 2

Після диференціювання обох доданків маємо:

f'(x) = 2 * (2x - 1)² + (2x - 1) * 2 * (2x - 1)

Спростимо вираз: f'(x) = 4(2x - 1)² + 2(2x - 1)²

f'(x) = 6(2x - 1)²

Похідна функції г)

Для знаходження похідної функції f(x) = tg(5x), використаємо правило диференціювання тангенса:

f'(x) = sec²(5x) * (5x)'

Тангенс можна виразити як відношення синуса до косинуса:

f'(x) = (1/cos²(5x)) * (5x)'

Диференціюємо (5x):

(5x)' = 5

Після диференціювання маємо:

f'(x) = 5sec²(5x)