Question

Решите неравенство и найдите кол-во его решений на промежутке [π/2;2π]: sin 2x - 3cos 2x = 3 варианты ответа: 1, 2, 3, 4, 6

Answer 1

Ответ:4

Объяснение:

sin 2x - 3cos 2x = 3;

2sinx*cosx - 3cos²x+3sin²x = 3cos²x+3sin²x ;

2sinx*cosx - 6cos²x=0;

sinx*cosx - 3cos²x=0;  (sinx-3cosx)cosx =0;

cosx =0; ⇒x=π/2+πn; n∈Z;

sinx-3cosx=0; ⇒tgx=3, х=arctg3+πк; к∈Z; х≈1.25+3.14к

если к=0, то х≈1.25∉ [1.57;6.28]

если к=-1, то х≈-1.89∈ [1.57;6.28] - корень

если к=1, то х≈4.39∈ [1.57;6.28] - корень

если к=2, то х≈1.25+6.28∉ [1.57;6.28]

x=π/2+πn; n∈Z;

х=1.57+3.14n

если n=0, то х≈1.57∈ [1.57;6.28]- корень

если n=1, то х≈1.57+3.14=4.71∈ [1.57;6.28] - корень

если n=2, то х≈1.57+2*3.14∉ [1.57;6.28]

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам необходимо найти все значения переменной x, которые удовлетворяют неравенству sin(2x) - 3cos(2x) = 3 на промежутке [π/2, 2π].

Давайте разберемся, как решить это неравенство.

Перепишем неравенство в терминах sin и cos:

sin(2x) - 3cos(2x) = 3

Воспользуемся формулой двойного угла для sin и cos:

2sin(x)cos(x) - 6cos^2(x) + 3 = 3

Упростим уравнение:

2sin(x)cos(x) - 6cos^2(x) = 0

Разделим на cos(x) (предполагаем, что cos(x) ≠ 0):

2sin(x) - 6cos(x) = 0

Разделим на 2:

sin(x) - 3cos(x) = 0

Перепишем в терминах tan(x):

sin(x) = 3cos(x) sin(x)/cos(x) = 3 tan(x) = 3

Найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению на заданном промежутке:

На промежутке [π/2, 2π] значение tan(x) равно 3 два раза, так как тангенс имеет период π.

Найдем x, когда tan(x) = 3:

x = arctan(3) ≈ 1.249 + kπ, где k - целое число

Подставим значения k и найдем все решения на заданном промежутке:

x = 1.249 + kπ, где k = 0, 1, 2

Найденные значения x:

x = 1.249, 4.39, 7.53

Количество решений:

На заданном промежутке [π/2, 2π] уравнение имеет 3 решения.

Таким образом, количество решений данного неравенства на промежутке [π/2, 2π] равно 3. Ответ: 3.