Question

Кайрат любит играть в футбол. Во время игры футбольный мяч оказался у Кайрата, который расположился на расстояниях 12 м от одной штанги ворот и 14 м от другой. Ширина ворот 7 м. Найдите косинус угла попадания мяча в ворота.​

Answer 1

Ответ:

Косинус угла попадания Кайратом футбольного мяча в ворота равен  $\displaystyle \frac{97}{112} .$

Объяснение:

Найти косинус угла попадания Кайратом футбольного мяча в ворота шириной 7 м, который находится на расстоянии 14 м и 12 м от штанг ворот.

Обозначим места расположения стоек ворот точками A и B, место расположения Кайрата - точка С.
Точки ABC являются вершинами треугольника ABC. Угол C - угол попадания мяча в ворота.

Дано:
AB = 7 м;

AC = 14 м;

BC = 12.

Найти: cos C.

Решение.

• Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними
  a² = b² + c² - 2bc·cosα.

1) Применим к треугольнику теорему косинусов, по ней найдем косинус угла C.

В ΔABC:

AB² = AC² + BC² - 2 · AC · BC · cos C ⇒

$\displaystyle \cos\;C = \frac {AC^{2} + BC^{2} - AB^{2} }{2 \cdot AC \cdot BC}$

2) Подставим наши значения.

$\displaystyle \cos\;C = \frac {14^{2} + 12^{2} - 7^{2} }{2 \cdot 14 \cdot 12}=\\\\\\=\frac{196 + 144 -49}{28\cdot 12} =\frac{291}{336} = \frac{97}{112} .$

$\displaystyle \cos\;C = \frac{97}{112} .$

Косинус угла попадания Кайратом футбольного мяча в ворота равен $\displaystyle \frac{97}{112} .$

Answer 2

Для нахождения косинуса угла попадания мяча в ворота, мы можем использовать теорему косинусов. Предположим, что угол между линией, проведенной от Кайрата к одной штанге, и линией, проведенной от Кайрата к другой штанге, равен θ.

Используя теорему косинусов, мы можем записать:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(θ),

где c - длина стороны между штангами (ширина ворот), a и b - расстояния от Кайрата до каждой из штанг.

Подставим известные значения:

7^2 = 12^2 + 14^2 - 2 * 12 * 14 * cos(θ).

Решим это уравнение относительно cos(θ):

49 = 144 + 196 - 336 * cos(θ).

Теперь выразим cos(θ):

336 * cos(θ) = 144 + 196 - 49,

336 * cos(θ) = 291,

cos(θ) = 291 / 336.

Таким образом, косинус угла попадания мяча в ворота равен 291 / 336.