Question

Дано функция f(x)=arccos(3x+1) найдите: a) b) напишите уравнение касательной функций

Answer 1

Ответ:

$f(x)=arccos(3x+1)\ \ ,\ \ \ x_0=-\dfrac{1}{3}\\\\a)\ \ f'(x)=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(3x+1)^2}}\cdot 3\\\\\\f'(-\dfrac{1}{3})=-\dfrac{1}{\sqrt{1-(-1+1)^2}}\cdot 3=-3$

b)  уравнение касательной:

  $y=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)\\\\y(-\frac{1}{3})=arccos(-1+1)=arccos\, 0=\dfrac{\pi}{2}\\\\y=\dfrac{\pi}{2}-3(x+\dfrac{1}{3})\\\\\\\underline {y=-3x+\dfrac{\pi}{2}-1\ }$

Answer 2

Дана функция f(x) = arccos(3x+1). Давайте рассмотрим каждый из заданных пунктов по очереди.

a) Найдите производную функции f(x):

Чтобы найти производную функции, мы можем использовать правило дифференцирования для обратной функции. Для функции arccos(x) производная будет -1/√(1-x^2).

Применяя это правило к функции f(x) = arccos(3x+1), мы получаем:

f'(x) = -1/√(1 - (3x+1)^2)

b) Найдите уравнение касательной к функции:

Уравнение касательной к функции можно найти, используя формулу для уравнения прямой, которая имеет наклон (или производную) в данной точке.

Для нахождения уравнения касательной к функции f(x) = arccos(3x+1) в точке (a, f(a)), где a - произвольное значение x, мы можем использовать следующую формулу:

y - f(a) = f'(a) * (x - a)

Подставляя производные, полученные в пункте a), и координаты точки (a, f(a)), уравнение касательной к функции f(x) будет выглядеть следующим образом:

y - f(a) = -1/√(1 - (3a+1)^2) * (x - a)

Это и есть уравнение касательной к функции f(x) в точке (a, f(a)).

Пример: Предположим, что мы хотим найти уравнение касательной к функции f(x) = arccos(3x+1) в точке x = 2.

Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = -1/√(1 - (3x+1)^2)

Затем, используя формулу уравнения касательной, мы можем записать:

y - f(2) = -1/√(1 - (3*2+1)^2) * (x - 2)

где f(2) - значение функции f(x) в точке x = 2.

Таким образом, уравнение касательной к функции f(x) = arccos(3x+1) в точке x = 2 будет выглядеть следующим образом:

y - f(2) = -1/√(1 - (3*2+1)^2) * (x - 2)

Это и есть уравнение касательной к функции f(x) в точке x = 2.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.