Question

На окружности взята 2021 синяя и одна красная точка. 1) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых многоугольников со всеми вершинами в синих точках? 2) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых многоугольников, одна вершина которых красная, а остальные синие? 3) Каких многоугольников больше: из 1) или из 2)? Ответы обоснуйте.

Answer 1

1)Некоторая синяя точка может быть выбрана, а может быть не выбрана, поэтому возможны 2 состояния. Но так-же обязательно не стоит забывать, что многоугольник состоит не менее чем из трех точек! Поэтому нужно исключить из общего количество вариантов возможного выбора точек: 2^2021, те варианты, где было выбрано менее трех точек (2,1,0). Найдем количество вариантов, где было выбрано только две точки, число таких вариантов равно: C(2021,2) = 2021*2020/2 = 2021 * 1010

Количество вариантов выбрать только одну точку равно: 2021.

Количество вариантов не выбрать ни одной точки равно 1.

Как видим, в 2021 синей точке можно выбрать:                                    2^2022 - (2021*1011 +1) различных выпуклых многоугольников.

2. В данном случае красная точка будет в единственном возможном состоянии "я выбрана", а среди синих точек должны быть выбраны хотя бы две точки ( красная точка уже точно выбрана).

Таким образом, в данном случае общее количество выпуклых многоугольников будет равно: 2^2021 - 2022 (исключаем только случаи с невыбранной одной синей точкой (2021) и всеми невыбранными синими точками (1) )

3) Очевидно, что 2^2022 - (2021*1011 +1) < 2^2021 - 2022, то есть многоугольников из первого пункта будет меньше чем  многоугольников из второго.

Примечание: отметим, что если многоугольник должен быть выпуклым, то все его стороны проведены между выбранными соседними точками на окружности, а самопересечения сторон исключены. Поэтому по определенному набору точек на окружности можно сформировать единственный выпуклый многоугольник.

Answer 2

1) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых многоугольников со всеми вершинами в синих точках?

Чтобы определить количество вписанных в окружность выпуклых многоугольников со всеми вершинами в синих точках, мы можем использовать формулу для подсчета количества комбинаций вершин многоугольника. Для вписанного многоугольника с n вершинами, количество комбинаций вершин можно выразить как (n-1)!. Таким образом, для многоугольника с тремя вершинами (как в данном случае), количество комбинаций будет равно (3-1)! = 2!.

Ответ: Существует 2 вписанных в окружность выпуклых многоугольника со всеми вершинами в синих точках.

2) Сколько существует вписанных в окружность выпуклых многоугольников, одна вершина которых красная, а остальные синие?

Чтобы определить количество вписанных в окружность выпуклых многоугольников, одна вершина которых красная, а остальные синие, мы можем использовать формулу для подсчета количества комбинаций вершин многоугольника. Для многоугольника с n вершинами, количество комбинаций вершин можно выразить как (n-1)!. Таким образом, для многоугольника с четырьмя вершинами (одна красная и три синие), количество комбинаций будет равно (4-1)! = 3!.

Ответ: Существует 6 вписанных в окружность выпуклых многоугольников, одна вершина которых красная, а остальные синие.

3) Каких многоугольников больше: из 1) или из 2)?

Сравнивая количество многоугольников из вопросов 1) и 2), мы видим, что вопрос 2) имеет большее количество многоугольников. Вопрос 1) имеет 2 вписанных в окружность выпуклых многоугольника со всеми вершинами в синих точках, в то время как вопрос 2) имеет 6 вписанных в окружность выпуклых многоугольников, одна вершина которых красная, а остальные синие.

Ответ: Количество многоугольников из вопроса 2) больше, чем количество многоугольников из вопроса 1).