Question

Найти коэффициенты, определить куда направлены ветви и найти вершины для следующих парабол: 1) y=x^2+8x+4; 2) y=-2x^2-8x-2 3) y=5x^2-10x.

Answer 1

1) y=x^2+8x+4;
a=1>0 ветви вверх
b=8
c=4
Xв=-b/2a=-4 Yв=16-32+4=-12 (-4;-12)
2) y=-2x^2-8x-2
a=-2<0 ветви вниз
b=-8
c=-2
Xв=-b/2a=-2 Yв=-8+16-2=6 (-2;6)
3) y=5x^2-10x.
a=5>0 ветви вверх
b=-10
c=0
Xв=-b/2a=1 Yв=5-10=-5 (1;-5)

Answer 2

Для каждой из парабол, чтобы найти коэффициенты, определить направление ветвей и найти вершины, мы можем использовать стандартную формулу параболы, известную как каноническое уравнение параболы. Каноническое уравнение параболы имеет следующий вид: y = a(x - h)^2 + k, где (h, k) - координаты вершины параболы.

Давайте рассмотрим каждую параболу по отдельности:

1) y = x^2 + 8x + 4: В данном случае коэффициенты равны: a = 1, b = 8, c = 4. По формуле канонического уравнения параболы, чтобы найти вершину, нам нужно найти значения h и k. Для этого мы используем следующие формулы: h = -b / (2a) и k = c - (b^2 - 4ac) / (4a). Подставляя значения коэффициентов, мы получаем: h = -8 / (2*1) = -4 и k = 4 - (8^2 - 4*1*4) / (4*1) = 4 - (64 - 16) / 4 = 4 - 48 / 4 = 4 - 12 = -8. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (-4, -8). Коэффициент a равен 1, что означает, что ветви параболы направлены вверх.

2) y = -2x^2 - 8x - 2: В данном случае коэффициенты равны: a = -2, b = -8, c = -2. Аналогично первому примеру, мы можем найти координаты вершины параболы: h = -b / (2a) = -(-8) / (2*(-2)) = 8 / 4 = 2 и k = c - (b^2 - 4ac) / (4a) = -2 - ((-8)^2 - 4*(-2)*(-2)) / (4*(-2)) = -2 - (64 - 16) / (-8) = -2 - 48 / (-8) = -2 - (-6) = 4. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (2, 4). Коэффициент a равен -2, что означает, что ветви параболы направлены вниз.

3) y = 5x^2 - 10x: В данном случае коэффициенты равны: a = 5, b = -10, c = 0. Найдем координаты вершины параболы: h = -b / (2a) = -(-10) / (2*5) = 10 / 10 = 1 и k = c - (b^2 - 4ac) / (4a) = 0 - ((-10)^2 - 4*5*0) / (4*5) = 0 - (100 - 0) / 20 = 0 - 100 / 20 = 0 - 5 = -5. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, -5). Коэффициент a равен 5, что означает, что ветви параболы направлены вверх.

Вывод: 1) y = x^2 + 8x + 4: - Коэффициенты: a = 1, b = 8, c = 4. - Вершина: (-4, -8). - Направление ветвей: вверх.

2) y = -2x^2 - 8x - 2: - Коэффициенты: a = -2, b = -8, c = -2. - Вершина: (2, 4). - Направление ветвей: вниз.

3) y = 5x^2 - 10x: - Коэффициенты: a = 5, b = -10, c = 0. - Вершина: (1, -5). - Направление ветвей: вверх.