Question

Исследуйте функцию и постройте ее график: y = 2x² + 5x + 6

Answer 1

Ответ:

1. ОДЗ: х ∈ R

2. Функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. х = 0   ⇒   у = 6

ось 0х не пересекает

4. Асимптот нет

5. Функция убывает на промежутке (-∞; -5/4]

Функция возрастает на промежутке [-5/4; +∞)

$\displaystyle x_{min}=-\frac{5}{4}$

6. Функция вогнута.

Объяснение:

Требуется исследовать функцию и построить график.

y = 2x² + 5x + 6

1. ОДЗ: х ∈ R

2. Четность, нечетность.

Если f(-x) = f(x), функция четная.

Если f(-x) = -f(x), функция нечетная.

у(-х) = 2 · (-х)² + 5 · (-х) + 6 = 2х² - 5х + 6

у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть общего вида.

3. Пересечение с осями:

1) х = 0   ⇒   у = 6.

Ось 0у график пересекает в точке (0; 6)

2) у = 0   ⇒   2х² + 5х + 6 = 0

D = 25 - 4 ·2 · 6 = - 23 <0

⇒ корней нет, ось 0х не пересекает.

4. Асимптоты.

Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную:

y' = 2 · 2x + 5 = 4x + 5

Приравняем к нулю и найдем корни:

4х + 5 = 0

$\displaystyle x=-\frac{5}{4}$

Отметим точку на числовой оси и определим знак производной на промежутках:

$\displaystyle -----[-\frac{5}{4} ]+++++$

⇒ Функция убывает на промежутке (-∞; -5/4]

Функция возрастает на промежутке [-5/4; +∞)

Если производная меняет знак с минуса на плюс, то в данной точке будет минимум.

$\displaystyle x_{min}=-\frac{5}{4}$

$\displaystyle y(-\frac{5}{4}) = 2\cdot(-\frac{5}{4})^2+5\cdot(-\frac{5}{4} )+6=\\ \\ =\frac{25}{8}-\frac{50}{8}+6=2\frac{7}{8}$

⇒ координаты точки минимума (-5/4; 2 7/8)

6. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем производную второго порядка:

$\displaystyle y''=4$

y'' > 0

Если вторая производная больше нуля, то функция вогнута.

Точек перегиба нет.

Строим график.

Answer 2

Function Analysis and Graph Plotting: y = 2x² + 5x + 6

To analyze the function y = 2x² + 5x + 6 and plot its graph, we can start by examining the equation and identifying its key components.

The given equation is a quadratic function in the form of y = ax² + bx + c, where: - a = 2 - b = 5 - c = 6

The coefficient 'a' determines the shape of the parabola. Since 'a' is positive in this case (a = 2), the parabola opens upwards. The vertex of the parabola can be found using the formula x = -b / (2a). In this case, the vertex is given by x = -5 / (2 * 2) = -5/4.

To find the y-coordinate of the vertex, we substitute the x-coordinate into the equation: y = 2 * (-5/4)² + 5 * (-5/4) + 6. Simplifying this expression, we get y = 2 * 25/16 - 25/4 + 6 = 25/8 - 25/4 + 6 = 25/8 - 50/8 + 48/8 = 23/8.

Therefore, the vertex of the parabola is at (-5/4, 23/8).

To plot the graph, we can choose a few x-values, calculate the corresponding y-values using the equation, and then plot the points on a coordinate plane.

Let's calculate the y-values for a few x-values:

- When x = -2: y = 2 * (-2)² + 5 * (-2) + 6 = 2 * 4 - 10 + 6 = 8 - 10 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0. So, when x = -2, y = 0.

- When x = -1: y = 2 * (-1)² + 5 * (-1) + 6 = 2 * 1 - 5 + 6 = 2 - 5 + 6 = 3. So, when x = -1, y = 3.

- When x = 0: y = 2 * 0² + 5 * 0 + 6 = 0 + 0 + 6 = 6. So, when x = 0, y = 6.

- When x = 1: y = 2 * 1² + 5 * 1 + 6 = 2 * 1 + 5 + 6 = 2 + 5 + 6 = 13. So, when x = 1, y = 13.

- When x = 2: y = 2 * 2² + 5 * 2 + 6 = 2 * 4 + 10 + 6 = 8 + 10 + 6 = 24. So, when x = 2, y = 24.

Now, we can plot these points on a graph:

| x | y | |-------|-------| | -2 | 0 | | -1 | 3 | | 0 | 6 | | 1 | 13 | | 2 | 24 |

By connecting these points, we can draw the graph of the function y = 2x² + 5x + 6. The graph will be a U-shaped parabola that opens upwards.


Please note that the graph image is not provided in the search results, so it cannot be displayed here. However, you can plot the graph using graphing software or online graphing tools by entering the equation y = 2x² + 5x + 6.