Question

Дано: sin2α=0,8 Найти: tgα

Answer 1

Формула для выражения синуса через тангенс половинного угла (универсальная тригонометрическая подстановка):

$\sin x=\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\frac{x}{2} }{1+\,\mathrm{tg}^2\frac{x}{2}}$

Воспользовавшись ею, запишем:

$\sin 2\alpha =\dfrac{2\,\mathrm{tg}\,\alpha }{1+\,\mathrm{tg}^2\alpha } =0.8$

$2\,\mathrm{tg}\,\alpha =0.8(1+\,\mathrm{tg}^2\alpha)$

$2\,\mathrm{tg}\,\alpha =0.8+0.8\,\mathrm{tg}^2\alpha$

$0.8\,\mathrm{tg}^2\alpha-2\,\mathrm{tg}\,\alpha+0.8=0$

$2\,\mathrm{tg}^2\alpha-5\,\mathrm{tg}\,\alpha+2=0$

$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=9$

$(\,\mathrm{tg}\,\alpha)_1=\dfrac{5+\sqrt{9} }{2\cdot2} =2$

$(\,\mathrm{tg}\,\alpha)_2=\dfrac{5-\sqrt{9} }{2\cdot2} =0.5$

Ответ: 0.5 или 2

Answer 2

Для решения данного уравнения sin2α = 0,8 и нахождения значения tgα, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций.

Нахождение sinα и cosα

По формуле двойного аргумента sin2α = 2sinαcosα, мы можем выразить sinα через cosα или наоборот. В данном случае, у нас есть sin2α = 0,8, поэтому мы можем записать:

2sinαcosα = 0,8

Теперь мы можем решить это уравнение относительно одной из функций. Допустим, мы решаем его относительно sinα. Тогда мы можем записать:

sinα = 0,8 / (2cosα)

Нахождение tgα

Мы можем использовать тригонометрическое тождество tgα = sinα / cosα для нахождения значения tgα. Подставим выражение для sinα, которое мы получили выше:

tgα = (0,8 / (2cosα)) / cosα

Упростим это выражение:

tgα = 0,8 / (2cos^2α)

Решение уравнения

Теперь мы можем решить уравнение sin2α = 0,8 и найти значения tgα. Давайте решим это уравнение для α.

sin2α = 0,8

2sinαcosα = 0,8

sinαcosα = 0,4

Так как sinα = 0,8 / (2cosα) (как мы получили ранее), мы можем подставить это значение:

(0,8 / (2cosα)) * cosα = 0,4

0,8 = 0,4

Это уравнение не имеет решений. Таким образом, нет определенного значения для tgα при данном условии sin2α = 0,8.

Если вы имели в виду уравнение sinα = 0,8 (а не sin2α = 0,8), тогда мы можем решить это уравнение и найти значение tgα. В этом случае:

sinα = 0,8

cosα = √(1 - sin^2α) = √(1 - 0,8^2) = √(1 - 0,64) = √(0,36) = 0,6

tgα = sinα / cosα = 0,8 / 0,6 = 4/3

Таким образом, если у вас есть уравнение sinα = 0,8, то значение tgα равно 4/3.