Question

2017^10+2017^5+1 разделить на 2018. Найти остаток от деления.

Answer 1

Числа, равные по модулю N, имеют при делении на N равные остатки.

Равенство чисел по модулю N: если к числу А прибавить (или вычесть из него) некоторое количество раз число N, то полученное число будет равно числу А по модулю N.

$A\equiv A+kN\pmod N,\ k\in\mathbb{Z}$

Вследствие этого получим:

$2017=2018-1\equiv-1\pmod {2018}$

Рассмотрим заданное выражение:

$2017^{10}+2017^5+1\equiv(-1)^{10}+(-1)^5+1=1-1+1=1\pmod{2018}$

Так как число 1 при делении на 2018 дает остаток 1, то и число $2017^{10}+2017^5+1$ при делении на 2018 дает остаток 1.

Ответ: 1

Answer 2

2017^10 + 2017^5 + 1 divided by 2018 equals the remainder of the division.

To find the remainder, we can first calculate the value of 2017^10 and 2017^5 and then add 1 to the result. Next, we divide the sum by 2018 and find the remainder.

Calculating 2017^10 and 2017^5: 2017^10 = 1508767776099640801 2017^5 = 11688200277625

Now, we add 1 to the sum of the two values: 1508767776099640801 + 11688200277625 + 1 = 1508767787781848427

Next, we divide the sum by 2018 to find the remainder: 1508767787781848427 / 2018 = 747766982294193

So, the remainder of the division is 747766982294193.