Question

Решить неравенство f'(x) >0f(x) = 1\3cosx3x+x​

Answer 1

Объяснение:

....................

Answer 2

Для решения данного неравенства, нам необходимо сначала найти производную функции f(x) и выяснить, когда она положительна.

Итак, дано: f(x) = (1/3)cos(x^3x+x)

Для нахождения производной f'(x), мы будем использовать правило дифференцирования композиции функций.

Правило дифференцирования композиции функций гласит:

Если у нас есть функция g(x), дифференцируемая в точке x, и функция h(x), дифференцируемая в точке g(x), то производная композиции функций (h ∘ g)(x) равна произведению производной h(x) и производной g(x):

(d/dx)(h ∘ g)(x) = h'(g(x)) * g'(x)

В нашем случае, функция g(x) = x^3x+x и функция h(x) = (1/3)cos(x).

Найдем производные этих функций:

g'(x) = d/dx (x^3x+x) По правилу степенной функции, производная x^n равна n*x^(n-1). Таким образом, производная x^3 равна 3x^2, а производная x равна 1. Поэтому: g'(x) = 3x^2 + 1

h'(x) = d/dx ((1/3)cos(x)) По правилу дифференцирования cos(x), производная cos(x) равна -sin(x). Таким образом: h'(x) = (-1/3)sin(x)

Теперь мы можем найти производную f'(x) функции f(x) = (1/3)cos(x^3x+x) по правилу дифференцирования композиции функций:

f'(x) = h'(g(x)) * g'(x) f'(x) = (-1/3)sin(x^3x+x) * (3x^2 + 1)

Теперь мы можем решить неравенство f'(x) > 0, используя полученную производную.

(-1/3)sin(x^3x+x) * (3x^2 + 1) > 0

Для решения этого неравенства, мы можем использовать метод интервалов. Для этого нам нужно найти значения x, при которых производная f'(x) равна нулю, и проверить знак производной в каждом из этих интервалов.

Поскольку sin(x^3x+x) всегда находится в диапазоне от -1 до 1, мы можем игнорировать это значение и сосредоточиться на произведении (3x^2 + 1).

(3x^2 + 1) > 0

Вычитая 1 из обеих сторон неравенства, получим:

3x^2 > -1

Далее, деля обе стороны на 3, получим:

x^2 > -1/3

Поскольку квадрат любого числа всегда положителен или равен нулю, мы можем сделать вывод, что x^2 > -1/3 для любого значения x.

Таким образом, производная f'(x) всегда положительна для любого значения x.

Вывод: Неравенство f'(x) > 0 выполняется для всех значений x.

Ответ: Неравенство f'(x) > 0 выполняется для всех значений x.