Question

Обчислити площу фігури, обмеженої параболою y=x^2-4x+5 та прямими х=0, у=0, х=4​

Answer 1

$S=\int\limits^4_0 {(x^2-4x+5)} \, dx = \frac{4^3}{3}-2*4^2+5*4-(\frac{0^3}{3}-2*0^2+5*0 )=\frac{28}{3}. \\\int\limits {(x^2-4x+5)} \, dx = \frac{x^3}{3}-2x^2+5x.$

Ответ:

$\frac{28}{3}.$

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2-4x+5 и прямыми x=0, y=0, x=4, мы можем воспользоваться методом интегрирования. Сначала нам нужно найти точки пересечения параболы с прямыми.

Для начала решим уравнение параболы y=x^2-4x+5 и найдем ее вершины. Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу x = -b/(2a), где a, b и c - коэффициенты параболического уравнения.

Для нашей параболы y=x^2-4x+5, коэффициенты a=1, b=-4 и c=5. Подставляя их в формулу, мы получаем x = -(-4)/(2*1) = 2. Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, 1).

Теперь найдем точки пересечения параболы с прямыми. Для x=0, y=0 и x=4, мы можем подставить значения x в уравнение параболы и решить его относительно y.

При x=0, y=0: 0 = 0^2 - 4*0 + 5 0 = 5

При x=4, y=0: 0 = 4^2 - 4*4 + 5 0 = 16 - 16 + 5 0 = 5

Таким образом, прямая x=0 не пересекает параболу, а прямые y=0 и x=4 пересекают параболу в точках (0, 5) и (4, 5) соответственно.

Теперь мы можем построить график параболы и прямых, чтобы визуализировать фигуру, ограниченную ими.


Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми, мы можем разделить эту фигуру на две части: треугольник и параболический сегмент.

Вычисление площади треугольника: Площадь треугольника можно вычислить с помощью формулы S = (base * height)/2, где base - основание треугольника, а height - высота треугольника.

В нашем случае, основание треугольника равно 4 (расстояние между точками (0, 5) и (4, 5)), а высота равна 5 (расстояние от прямой y=0 до параболы).

S_triangle = (4 * 5)/2 = 10

Вычисление площади параболического сегмента: Площадь параболического сегмента можно вычислить с помощью интеграла. Формула для вычисления площади параболического сегмента между двумя точками x=a и x=b задается следующим образом:

S_segment = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - уравнение параболы, g(x) - уравнение прямой.

В нашем случае, a=0, b=4, f(x) = x^2 - 4x + 5, g(x) = 0.

S_segment = ∫[0,4] (x^2 - 4x + 5 - 0) dx

Решая этот интеграл, получим:

S_segment = [(x^3/3) - 2x^2 + 5x] [0,4]

S_segment = [(4^3/3) - 2*4^2 + 5*4] - [(0^3/3) - 2*0^2 + 5*0]

S_segment = [(64/3) - 2*16 + 20] - [0 - 0 + 0]

S_segment = (64/3) - 32 + 20

S_segment = 21.33 - 32 + 20

S_segment = 9.33

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2-4x+5 и прямыми x=0, y=0, x=4, равна сумме площади треугольника и параболического сегмента:

S_total = S_triangle + S_segment = 10 + 9.33 = 19.33

Таким образом, площадь фигуры равна 19.33.